1/6几何证明——线段和差模型(中级)【知识要点】在几何证明中，我们经常遇到要求证明两条线段之和等于一条线段（cba），或者两条线段之差等于一条线段（cba）。在处理这类线段和差关系的问题时，我们常用“截长”与“补短”的方法。截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何问题化难为易的一种思想。截长就是在一条线段上截取成两段（一分为二），补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边（合二为一）。截长法：如果要证明线段等式cba，可以在长的一条线段a上截取一条线段等于b（或者c），然后只需证明线段a上去掉b（或者c）之后剩下的线段等于c（或者b）就行了。补短法：如果要证明线段等式cba，可以先将短的两条线段b和c拼接在一起形成一条长线段d，然后只需要证明da就行了。截长补短的方法比较灵活，要根据具体的题目条件，作出相应的辅助线。对于一些经典的截长补短模型，希望同学们能记住并掌握其用法，以便在遇到类似的几何情境时能迅速作出反应。【经典例题】例1、（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，45EAF。求证：BFDEEF。FDCABE（2）正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，45EAF。请问现在BFDEEF、、又有什么数量关系？FDCABE（3）正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，45EAF。请问现在BFDEEF、、又有什么数量关系？FDCABE例2、正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上60EDF。120BDCDCDB，。请问CFBEEF、、有什么数量关系？2/6FDABCE例3、已知：AC平分BAD，ABCE，0180DB，求证：BEADAE。BAECD例4、正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分∠DAC.求证：EOADAC2.OADCBE例5、已知，如图，在ABC中，ACAB，CADBAD，P为AD上任一点.求证：PCPBACAB。DBCAP【提升训练】1、如图，已知ABC中，边BC上的高为CD，CB2，求证：BDABCD。DBCA2、已知：AD平分BAC，BDABAC，求证：CB2。3/6ABCD3、已知ACBABC3，CAEBAE，AEBE，求证：BEABAC2。AEBC4、如图，在ABC中，60BAC，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数。DCBA5、如图，四边形ABCD中，DCAB//，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上。求证：DCABBC。AEBCD6、如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长。NDABCM4/67、如图，在梯形ABCD中，90//CBCAD，，E为CD的中点，ABEF//交BC于点F。（1）求证：CFADBF；（2）当71BCAD，，且BE平分ABC时，求EF的长。FEDBCAAFEDBC8、已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明。ODECBA9、己知，ABC中，ACAB，ABCD，垂足为D，P是BC上任一点，ACPFABPE，垂足分别为FE、.（1）求证：CDPFPE；（2）若P在BC延长线上，求证：CDPFPE。FEDBCAPFEDBCAP10、（1）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点。90AEF，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：EFAE。FEBCADG（2）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上（除B，C外）的任意一点。90AEF，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：EFAE。5/6FBCADGE（3）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点。90AEF，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：EFAE。FBCADGE11、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且60MDN，120BDC，CDBD。探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系。图1图2图3NDANDANDABCCBCBMMM（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DNDM时，MNNCBM、、之间的数量关系是_______；此时LQ；（2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DNDM时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；6/6（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若xAN，则Q（用x、L表示）。
