1/9初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE EG⊥CO，EF⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90°∴∠EGO+∠EFO=180°∴E、G、O、F四点共圆∴∠GEO=∠HFG ∠EGO=∠FHG=90°∴△EGO∽△FHG∴FGEO=HGGO GH⊥AB，CD⊥AB∴GH∥CD∴CDCOHGGO∴CDCOFGEO EO=CO∴CD=GF2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。求证：△PBC是正三角形．（初二）证明：作正三角形ADM，连接MP ∠MAD=60°，∠PAD=15°∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°∴∠BAP=∠MAP MA=BA，AP=AP∴△MAP≌△BAP∴∠BPA=∠MPA，MP=BP同理∠CPD=∠MPD，MP=CP ∠PAD＝∠PDA＝15°∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75° BA=CD∴△BAP≌∠CDP∴∠BPA=∠CPD ∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60° MP=BP，MP=CP∴BP=CP∴△BPC是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN2/9于E、F．求证：∠DEN＝∠F．证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG CN=DN，CG=DG∴GN∥AD，GN=21AD∴∠DEN=∠GNM AM=BM，AG=CG∴GM∥BC，GM=21BC∴∠F=∠GMN AD=BC∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G OG⊥AF∴AG=FG AB⌒=AB⌒∴∠F=∠ACB又AD⊥BC，BE⊥AC∴∠BHD+∠DBH=90°∠ACB+∠DBH=90°∴∠ACB=∠BHD∴∠F=∠BHD∴BH=BF又AD⊥BC∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD∴四边形OMDG是矩形∴OM=GD∴AH=2OM（2）连接OB、OC ∠BAC=60∴∠BOC=120° OB=OC，OM⊥BC∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30°∴BO=2OM由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.3/9求证：AP＝AQ．证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF AG⊥PQ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF即∠PAE=∠QAF E、F、C、D四点共圆∴∠AEF+∠FCQ=180° EF⊥AG，PQ⊥AG∴EF∥PQ∴∠PAF=∠AFE AF=AE∴∠AFE=∠AEF∴∠AEF=∠PAF ∠PAF+∠QAF=180°∴∠FCQ=∠QAF∴F、C、A、Q四点共圆∴∠AFQ=∠ACQ又∠AEP=∠ACQ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）证明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG C、D、B、E四点共圆∴∠B=∠D，∠E=∠C∴△ABE∽△ADC∴DFBGFD2BG2DCBEADAB∴△ABG∽△ADF∴∠AGB=∠AFD∴∠AGE=∠AFC AM=AN，∴OA⊥MN又OG⊥BE，∴∠OAQ+∠OGQ=180°∴O、A、Q、E四点共圆∴∠AOQ=∠AGE同理∠AOP=∠AFC∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA∴△OAQ≌△OAP∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC求证：BC=2OP（初二）证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N在△AEP和△AFQ中∠AFQ=∠AEPAF=AE∠QAF=∠PAE∴△AEP≌△AFQ∴AP=AQ4/9 OF=OD，DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位线∴DN+FL=2OP ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．（初二）证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G ABCD是正方形∴BD⊥AC又EG⊥AC∴BD∥EG又DE∥AC∴ODEG是平行四边形又∠COD=90°∴ODEG是矩形∴EG=OD=21BD=21AC=21AE∴∠EAG=30° AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75°又∠AFD=90°-15°=75°∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC∴CE=CF2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，...
