北师大版2019高中数学选修1同步讲义：常用逻辑用语2_含答案VIP专享VIP免费

§2充分条件与必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件(1)“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p?q，但q?p，称p是q的充分不必要条件，若q?p，但p?q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件思考在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？答案因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充要条件．梳理(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件．(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)2．若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．(√)3．q不是p的必要条件时，“p?q”成立．(√)类型一充分条件、必要条件、充要条件的判定例1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(3)p：A?B，q：A∩B＝A；(4)p：a＞b，q：ac＞bc.考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断解(1) 两个三角形相似?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，∴p是q的必要不充分条件．(2) 矩形的对角线相等，∴p?q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q?p，∴p是q的充分不必要条件．(3) p?q，且q?p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．(4) p?q，且q?p，∴p是q的既不充分又不必要条件．反思与感悟充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：02，β>2，q：α＋β>4，αβ>4.考点充分条件、必要条件的判断题点充分、必要条件的判断解(1)当a＝0时，1>0满足题意；当a≠0时，由Δ＝a2－4a<0，a>0，可得02，β>2，根据同向不等式相加、相乘的性质，有α＋β>4，αβ>4，即p?q，但α＋β>4，αβ>4?α>2，β>2，比如，当α＝1，β＝5时，α＋β＝6>4，αβ＝5>4，而α<2，所以q?p，所以p是q的充分不必要条件．类型二充要条件的探求与证明命题角度1充要条件的探求例2求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件解(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－12，符合要求．(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.①方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负根的充要条件是Δ≥0，x1x2<0，即a≤1，1a<0，∴a<0.②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是Δ≥0，x1＋x2<0，x1x2>0，即a≤1，－2a<0，1a>0，∴0