“PA+k・PB”型的最值问题当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。当k取任意不为1的正数时，通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。一、“将军饮马”模型“将军饮马”：把河岸看作直线L,先取A（或B）关于直线L的对称点A（或B，）,连接AB（或BA），并与直线交于一点P，则点P就是C将军饮马的地点，即PA+PB即为最短路线。例1.如图，在锐角△ABC中，AB=4,ZBAC=45。，ZBAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是。3例2.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6,动点P满足S^PAB=3S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为.例3.如图，ZAOB=30。，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分ZAOB，且0P=6,△PMN的周长最小值为；当厶PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为。变式：“造桥选址”模型（4,0），连接AC、AD，设C点横坐标为m，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值。例6.如图，AABC中，BC=2,ZABC=30。，则2AC+AB的最小值为二、“胡不归”模型有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地,B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。但是，他忽略了在驿道上（匕）行走要比在砂土地带（V2）行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但速度可以加快），是可以提前抵达家门的。解题步骤:①将所求线段和改写为“BD+V2AD”的形式（OVV2VI）；VV11②在AD的一侧，BD的异侧，构造一个角度a使得sina=V2；V1③过B作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值.例7.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且ZABC=60°，M为对角线1BD（不含B点）上任意一点，则AM+-BM的最小值为。厶例8.如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO,点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=时，运动时间最短为秒。［中考真题］1.（2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1,0），B（0，--.3）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点Do若P为y轴上的一个动点，连接PD,则1PB+PD的最小值为o22.（2014.成都）如图，已知抛物线y=迤3（x+2）（x-4）与x轴从左至右依次交于点A、9B,与y轴交于点C，经过点B的直线y=x+土3与抛物线的另一个交点为33D（-5，y.i）o设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速第四步：在OB上取点C，使得OCOP,==k三、“阿氏圆”模型【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B,则所有满足PA=kPB（kM1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。本题的关键在于如何确定“k・PB”的大小，（如图2-1-2）在线段OB上截取OC使OC=k・r,则可说明厶BPO与厶PCO相似，即k・PB=PC。・•・本题求“PA+k・PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小（如图2-1-3），本题得解。“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OB；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度;第三步：计算这两条线段长度的比第五步：连接AC，与圆O交点即为点P.例9.如图，点A、B在OO上,且OA=OB=6,且OA丄OB,点C是OA的中点，点D在OB上,且OD=4,动点P在OO上,则2PC+PD的最小值为.如图所示2-1-1,OO的半径为r,点A、B都在0O夕卜，P为0O上的动点，已知例10.如图，半圆的半径为1,AB为直径，AC、BD为切线，J2AC=1,BD=2,P...
