同济理论力学 有关自由度VIP专享VIP免费

约束、自由度与广义坐标一、问题的提出物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系统与非自由系统。研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，自由度与广义坐标的概念。二、约束1.约束概念约束就是限制物体任意运动的条件。刚体静力学研究约束,是探究约束的原因-------约束力运动学研究约束,是探究约束的结果-------运动的限制2.约束方程(1)坐标确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。(2)位形对于由n个质点组成的自由质点系，则需要3n个独立坐标，这3n个的坐标集合称为质点系的位形。(3)约束方程约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为约束方程。3.约束分类与约束方程一般形式0);,,,,,,;,,,,,,(111111tzyxzyxzyxzyxfnnnnnnrn个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：(r=1,…,s)约束方程的个数为：s约束方程中不含:时为几何约束,反之为运动约束。;,,,,,,111nnnzyxzyx约束方程的特例:约束方程中不含:不显含时间t时为定常约束,反之为非定常约束。约束方程中以等号表示时:为双面（固执）约束,反之为单面（非固执）约束。几何约束2222lzyxxylOAzxyzM曲面上的质点：0),,(zyxf单摆:运动约束CCvxy——几何约束0rx——运动约束ryC纯滚动的圆轮：v20222vtlzyx定常几何约束2222lzyxxylOAz单摆:非定常几何约束单摆OA为刚性杆：2222lzyxxylOAzOA为柔绳：2222lzyx双面约束：在约束方程中用严格的等号表示的约束。单面约束：在约束方程含有不等号表示的约束。完整约束1.位移约束----全部几何约束2.运动约束可积分----纯滚动的圆轮;非完整约束运动约束不可积分----如碰撞系统,摩擦系统等.静力学问题中的约束都是定常几何约束。本教材动力学研究：定常、双面、完整约束。三、广义坐标、自由度自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数平面质点:,snk2空间质点:,3snk广义坐标：用以确定质点系位置的独立参变量),,(21tqqqxxkii),......,(21tqqqyykii),,(21tqqqzzkii),,(21tqqqrrkiii=1,2,······nkqq,q21n个质点，一般地：自由度为k，取广义坐标：1.基本概念自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标2.自由刚体的自由度最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体(形如四面体)，则自由刚体的自由度为：66)(43（刚杆数）质点数k此后每增加一个质点就增加3根刚杆。36n连接质点的刚杆数为：63ns每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：6)63(33nnsnk自由度数为：n>43.自由刚体的广义坐标基点的直角坐标000,,zyx和欧拉角,,或卡尔丹角,,自由刚体的广义坐标。组成的6个独立参变量就是它们被用于描述刚体的位形。4.受约束刚体的自由度设刚体数为m，则k=6m-S4、约束刚体的自由度与广义坐标约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广义坐标数。刚体约束情况自由度广义坐标刚体上一轴被约束（定轴转动）1刚体上一点被约束（定点运动）3刚体被限制作平面平行运动（自由的平面运动）3刚体被限制作平行移动（平移）3,,,,00yx000,,zyxxAB0lk21;qxqcoslxxABsinlyB0Ay2k广义坐标自由度本例为质点与刚体五总结(1)检查刚体(质点)数目n。(2)检查各刚体的运动形式。(3)列写出约束方程。(4)计算自由度,确定广义坐标。(a)空间刚体系k=6n-s,空间质点系k=3n-s(b)平面刚体系k=3n-s,平面质点系k=2n-s