二次曲线上的四点共圆问题的完整结论百年前，著名教材《坐标几何》著中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是x2y2这四点的离心角之和为周角的整数倍椭圆——+1二1（a>0,b>0）上任一点A的坐标可a2b2以表示为（acos0,bsin0）（0e,角°就叫做点A的离心角，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理这一条件是否充分，一直是悬案在世纪年代编写《数学题解辞典平面解析几何》时，仍未解决到世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性丄2］2016年高考四川卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，年高考湖北卷理科第题也即文科第题及年高考江苏、广东卷第题都是关于二次曲线上四点共圆的问题见文献笔者曾由年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件其证明也很简洁但有技巧：若两条直线l:y—y二k（x-x）（i二1,2）与二次曲线i0i0r:ax2+by2+cx+dy+e二0（a丰b）有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k+k=0.12文献［2］还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”文献［5］用较长的篇幅得出了下面的两个结论（即原文末的命题7、8）：结论1抛物线y2二2px的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论2圆锥曲线mx2+ny2二1（mn丰0,m丰n）的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.请注意，文献中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确但不够完整,本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理若两条二次曲线ax2+by2+cx+dy+e=0（a丰b），afx2+b'y2+c'x+dy+e=0x2+y2+c'x+dy+e'=0②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆这就证得了四个交点共圆定理若两条直线l:ax+by+c二0(i二1,2)与二次曲线iiiir:ax2+by2+cx+dy+e二0(a丰b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是ab+ab=0.1221证明由l,l组成的曲线即12(ax+by+c)(ax+by+c)=0111222所以经过它与r的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(九,卩不同时为0)：九(ax2+by2+cx+dy+e)+p(ax+by+c)(ax+by+c)=0③111222必要性•若四个交点共圆，则存在九,卩使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy项的系数P(ab+ab)=0而pz0(否则③表示曲线r，不表示圆，所以ab+ab=0.12211221充分性.当ab+ab=0时，式③左边的展开式中不含xy的项，选p=1时，再令式③1221~b~b左边的展开式中含x2,y2项的系数相等，即九a+aa=Xb+bb，得九=十—i2i2b_a此时曲线③即x2+y2+c'x+dy+e'=0②亠〔a)交点共圆的充要条件即-T1+Vbi丿'a'——2{b丿=0也即直线l,l的斜率均存在且均不为o且互为12相反数.由此可得欲证成立.咼考题1(2016年咼考四川卷文科第20题)已知椭圆E:+^-=】(a>b>0)的一一a2b2个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为2的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|-|MB|=\MC\-\MD\.解(1)(过程略)椭圆E的方程是才+y2二1.⑵设Ay)，B(x2,y2)，线段AB的中点为M(xo,yo).x2x2可得方+yi2二1,韋+y22二1，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得=—(yi+y2)(Ty2)1了y一yx+xx=k=T2=12=0—2ABx—x—4(y+y)—4y12120CDx2所以k+k=0，由推论1得A,B,C,D四点共圆.ABCD再由相交弦定理，立得|MA|・|MB|=|MC|・|MD竞赛题1(2014年全国咼中数学联赛湖北赛区预赛第13题)设A、B为双曲线x2—"2二九上的两点，点N(1,2)为线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点.(1)确定九的取值范围；(2)试判断A、B、C、D四点是否共圆？并说明理由.x2+y2+c'x+dy+e'=0②简解⑴用点差法可求得直线AB的方程是y=x+1，由直线AB与双曲线x2-斗二九交于不同的两点，可得九＞-1且九H0.得直线CD的方程是y=-x+3，由直线CD与双曲线x2-=九交于不同的两点，可得九＞-9且九H0.所以九的取值范围是(-1,02(0,+Q.(2)在(1)的解答中已k+k二0,所以由推论1立得A,B,C,D四点共圆....
