12012级量子力学期末考试试题和答案A卷一、简答与证明:(共25分)1、什么是德布罗意波?并写出德布罗意波的表达式。(4分)2、什么样的状态是定态,其性质是什么?(6分)3、全同费米子的波函数有什么特点?并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。(4分)4、证明)??(22xxpxxpi是厄密算符(5分)5、简述测不准关系的主要内容,并写出坐标x和动量xp?之间的测不准关系。(6分)二、(15分)已知厄密算符BA?,?,满足1??22BA,且0????ABBA,求1、在A表象中算符A?、B?的矩阵表示;2、在B表象中算符A?的本征值和本征函数;3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、(15分)设氢原子在0t时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021YrRYrRYrRr,求1、0t时氢原子的E、2L?和zL?的取值几率和平均值;2、0t时体系的波函数,并给出此时体系的E、2L?和zL?的取值几率和平均值。四、(15分)考虑一个三维状态空间的问题,在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出CCCH000000200030001?这里,HHH???)0(,C是一个常数,1C,用微扰公式求能量至二级修正值,并与精确解相比较。五、(10分)令yxiSSS,yxiSSS,分别求S和S作用于zS的本征态0121和1021的结果,并根据所得的结果说明S和S的重要性是什么?一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波;其表达式:)(EtrpiAe2、定态:定态是能量取确定值的状态。性质:定态之下不显含时间的力学量的2取值几率和平均值不随时间改变。3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为:)()()()(2112212211qqqqA。4、)??(22xxpxxpi=xxxxxxppxpixppixpi?2?],?[],?[?],?[2,因为xp?是厄密算符,所以)??(22xxpxxpi是厄密算符。5、设F?和G?的对易关系k?iF?G?G?F?,k是一个算符或普通的数。以F、G和k依次表示F?、G?和k在态中的平均值,令FF?F?,GG?G?,则有4222k)G?()F?(,这个关系式称为测不准关系。坐标x和动量xp?之间的测不准关系为:2?xpx二、解1、由于1?2A,所以算符A?的本征值是1,因为在A表象中,算符A?的矩阵是对角矩阵,所以,在A表象中算符A?的矩阵是:1001)(?AA设在A表象中算符B?的矩阵是22211211)(?bbbbAB,利用0????ABBA得:02211bb;由于1?2B,所以002112bb002112bb10012212112bbbb,21121bb;由于B?是厄密算符,BB??,0101212bb010*12*12bb*12121bb令ieb12,其中为任意实常数,得B?在A表象中的矩阵表示式为:00)(?iieeAB2、类似地,可求出在B表象中算符A?的矩阵表示为:00)(?iieeBA在B表象中算符A?的本征方程为:00iiee,即iiee00iiee和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零,即30iiee0121对1有:121iAe,对1有:121iAe所以,在B表象中算符A?的本征值是1,本征函数为121ie和121ie3、类似地,在A表象中算符B?的本征值是1,本征函数为121ie和121ie从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符B?在A表象中的本征函数按列排成的矩阵,即1121iieeS三、解:已知氢原子的本征解为:)3,2,1(12202nnaeEsn),()(),,(lmnlnlmYrRr,将)0,(r向氢原子的本征态展开,1、)0,(r=nlmnlmnlmrc),,()0(,不为零的展开系数只有三个,即21)0(210c,21)0(310c,21)0(121c,显然,题中所给的状态并未归一化,容易求出归一化常数为:54,于是归一化的展开系数为:515421)0(210c,525421)0(310c,525421)0(121c(1)能量的取值几率535251)0,(2EW,52)0,(3EW,平均值为:325253EEE(2)2L?取值几率只有:1)0,2(2W,平均值222?L(3)zL?的取值几率为:535251)0,0(W,52)0,(W,平均值52?zL2、0t时体系的波函数为:),(tr=nlmnnlmnlmtEirc)exp(),,()0(4由于E、2L?和zL?皆为守恒量,所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变,与0t时的结果是一样的。四、解:(1)H?的本征值是方程0)?det(IH的根结果:2C,212C,这是H?的精确解。(2)根据题意,体系能级的二级修正可写为:)2()1()0(nnnnEEEE由题设可知:能量的一级修正为:011H,022H,CH33对于二级修正,有:2)2(103122)0(3)0(13113)0(2)0(12112)2(1CCEEHHEEHHE2)2(301322)0(3)0(23223)0(1)0(21221)2(2CCEEHHEEHHE0)0(2)0(32332)0(1)0(31331)2(3EEHHEEHHE所以,2121CE,2322CE,CE2...