南通大学量子力学期末考试试题与答案VIP免费

12012级量子力学期末考试试题和答案A卷一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）4、证明)??(22xxpxxpi是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量xp?之间的测不准关系。（6分）二、（15分）已知厄密算符BA?,?，满足1??22BA，且0????ABBA，求1、在A表象中算符A?、B?的矩阵表示；2、在B表象中算符A?的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、（15分）设氢原子在0t时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021YrRYrRYrRr，求1、0t时氢原子的E、2L?和zL?的取值几率和平均值；2、0t时体系的波函数，并给出此时体系的E、2L?和zL?的取值几率和平均值。四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出CCCH000000200030001?这里，HHH???)0(，C是一个常数，1C，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。五、（10分）令yxiSSS，yxiSSS，分别求S和S作用于zS的本征态0121和1021的结果，并根据所得的结果说明S和S的重要性是什么？一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(EtrpiAe2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的2取值几率和平均值不随时间改变。3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：)()()()(2112212211qqqqA。4、)??(22xxpxxpi=xxxxxxppxpixppixpi?2?],?[],?[?],?[2，因为xp?是厄密算符，所以)??(22xxpxxpi是厄密算符。5、设F?和G?的对易关系k?iF?G?G?F?，k是一个算符或普通的数。以F、G和k依次表示F?、G?和k在态中的平均值，令FF?F?，GG?G?，则有4222k)G?()F?(，这个关系式称为测不准关系。坐标x和动量xp?之间的测不准关系为：2?xpx二、解1、由于1?2A，所以算符A?的本征值是1，因为在A表象中，算符A?的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符A?的矩阵是：1001)(?AA设在A表象中算符B?的矩阵是22211211)(?bbbbAB，利用0????ABBA得：02211bb；由于1?2B，所以002112bb002112bb10012212112bbbb，21121bb；由于B?是厄密算符，BB??，0101212bb010*12*12bb*12121bb令ieb12，其中为任意实常数，得B?在A表象中的矩阵表示式为：00)(?iieeAB2、类似地，可求出在B表象中算符A?的矩阵表示为：00)(?iieeBA在B表象中算符A?的本征方程为：00iiee，即iiee00iiee和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即30iiee0121对1有：121iAe，对1有：121iAe所以，在B表象中算符A?的本征值是1，本征函数为121ie和121ie3、类似地，在A表象中算符B?的本征值是1，本征函数为121ie和121ie从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符B?在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即1121iieeS三、解：已知氢原子的本征解为：)3,2,1(12202nnaeEsn),()(),,(lmnlnlmYrRr，将)0,(r向氢原子的本征态展开，1、)0,(r=nlmnlmnlmrc),,()0(，不为零的展开系数只有三个，即21)0(210c，21)0(310c，21)0(121c，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：54，于是归一化的展开系数为：515421)0(210c，525421)0(310c，525421)0(121c（1）能量的取值几率535251)0,(2EW，52)0,(3EW，平均值为：325253EEE（2）2L?取值几率只有：1)0,2(2W，平均值222?L（3）zL?的取值几率为：535251)0,0(W，52)0,(W，平均值52?zL2、0t时体系的波函数为：),(tr=nlmnnlmnlmtEirc)exp(),,()0(4由于E、2L?和zL?皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与0t时的结果是一样的。四、解：（1）H?的本征值是方程0)?det(IH的根结果：2C，212C，这是H?的精确解。（2）根据题意，体系能级的二级修正可写为：)2()1()0(nnnnEEEE由题设可知：能量的一级修正为：011H，022H，CH33对于二级修正，有：2)2(103122)0(3)0(13113)0(2)0(12112)2(1CCEEHHEEHHE2)2(301322)0(3)0(23223)0(1)0(21221)2(2CCEEHHEEHHE0)0(2)0(32332)0(1)0(31331)2(3EEHHEEHHE所以，2121CE，2322CE，CE2...