由2÷11的商引发的思考最近，我校五年级数学检测中有这样一道填空题：“2÷11=（），商是一个（)循环小数。”，引起了师生的争议。学生的答卷中主要出现了三种情况：①“2÷11=（0.1818……或0.），商是一个（纯）循环小数”；②“2÷11=（0.18181……或0.1），商是一个（混）循环小数”；③“2÷11=（0.18181……），商是一个（无限）循环小数”。在阅卷中教师各持己见：有的教师认为答案①正确，因为商的循环节“18”是从小数部分第一位开始出现的，故而是纯循环小数。有的教师认为答案②正确，因为在计算中，开始出现循环的余数为“9、2”，商的小数部分相对应循环出现的数字是“81”，循环节是从小数部分第二位开始出现的，应该是混循环小数。而有的教师则认为答案③也不应该打错，理由是教材中没有出现循环小数的分类，教师不应教给学生，学生不知道，只能填“无限”二字（也有许多教师把“循环小数”称作“无限循环小数”）。为此，引发了笔者的思考，现提出几点看法与同行商榷。一、我的分析1．正确理解循环小数的意义要弄清这个问题，有必要对有关循环小数的概念作以下阐述：两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种得到有限小数。一种得到无限小数。有限小数，是指小数部分的位数有限的小数，与无限小数相对立。有限小数都属于有理数，可以化成分数形式。如9.8=9=9、3.14=3=3、1.1212=1=1等有限小数都可以化为分母是10、100、1000……的分数。无限小数，是指小数部分的位数无限的小数，与有限小数相对立。无限小数有两种类型：1循环小数：从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数叫做循环小数。被重复的一个或几个数字称为循环节。循环小数的简写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。例如：=0.142857142857142857……可简写为0.4285，读作：“零点一四二八五七，一四二八五七的循环”，=1.833333……可简写为1.8，读作“一点八三，三的循环”等。循环小数属于有理数，可以化成分数形式。无限不循环小数：小数部分有无限多个数字，且没有依次不断地重复出现的一个数字或几个数字的小数叫做无限不循环小数，如π=3.14159265358979323……，e=2.71828182845904……。无限不循环小数属于无理数，不能化成分数的形式。根据以上定义可知，循环小数是一个无限小数，它属于有理数范畴，因为任何一个有理数都可以化成分数的形式，所以循环小数都可以化成分数的形式。将循环小数化为分数，有两种情况：一种是纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。如“2÷11”的商如果是纯循环小数，可化为：0.==。另一种是将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。如“2÷11”的商如果是混循环小数，可化2为：0.1===。由此可以看出，“20÷11”的商不论是纯循环小数还是混循环小数都可以化成，大小不会发生变化，只是形式上略有不同。2．深入理解循环小数的性质。《教师教学用书》（人教版）第75页“参考资料”中，介绍了循环小数有以下性质：（1）循环节的位数增加到原循环节的2倍、3倍……循环小数的值不变。例如，1.可写作1.18或1.1818。（2）纯循环小数可以写成混循环小数的形式，值不变。例如，1.可写作1.8或1.81。（3）有限小数也可以写作以0或9为循环节的循环小数。例如，3.79可写作3.79或3.78（一般不采用以9为循环节的形式）。并强调“根据以上性质，循环小数虽然可以写成不同形式，但是除特别需要以外，一般都写成最简形式”。例如：2÷11的商，一般认为写成0.是最简形式，而写成0.81或0.8181等就不是最简形式。但不能说写成0.1就错了，假设出于混循环小数的需要考虑，写成0.1也是混循环小数的最简形式。综上所述，不论是现行教材，还是百度百科或维基百科中，均没有对循环小数进行分类。而将循环小数分为纯循环小数和混循环小数之说法，还是在课改以...
