2010北京大学香港大学北京航空航天大学自主招生（三校联招）试题数学部分1．（仅文科做）02，求证：sintan．2．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为512．（25分）3．AB为21yx上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分）4．向量OA与OB已知夹角，1OA，2OB，(1)OPtOA，OQtOB，01t≤≤．PQ在0t时取得最小值，问当0105t时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x，使得sin,cos,tan,cotxxxx为等差数列．（25分）2010北京大学香港大学北京航空航天大学自主招生（三校联招）试题数学部分解析1．（仅文科做）02，求证：sintan．【解析】不妨设()sinfxxx，则(0)f，且当02x时，()1cosfxx．于是()fx在02x上单调增．∴()(0)0fxf．即有sinxx．同理可证()tan0gxxx．(0)0g，当02x时，21()10cosgxx．于是()gx在02x上单调增。∴在02x上有()(0)0gxg。即tanxx。注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为512．（25分）【解析】以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,AB中有一点位于P点时，知另一点位于1R或者2R时有最大值为1PR；当有一点位于O点时，1maxABOPPR；⑵当,AB均不在y轴上时，知,AB必在y轴的异侧方可能取到最大值（否则取A点关于y轴的对称点A，有ABAB）．不妨设A位于线段2OR上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB最大的B点必位于线段PQ上．且当B从P向Q移动时，AB先减小后增大，于是maxABAPAQ或；对于线段PQ上任意一点B，都有2BRBA≥．于是22maxABRPRQOR2R1QPPQR1R2OBA由⑴，⑵知2maxABRP．不妨设为x．下面研究正五边形对角线的长．如右图．做EFG的角平分线FH交EG于H．易知5EFHHFGGFIIGFFGH．于是四边形HGIF为平行四边形．∴1HG．由角平分线定理知111EFEHxFGxHG．解得152x．3．AB为21yx上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分）【解析】不妨设过A点的切线交x轴于点C，过B点的切线交x轴于点D，直线AC与直线BD相交于点E．如图．设1122(,),(,)BxyAxy，且有222211121,1,0yxyxxx．由于2yx，于是AC的方程为2222xxyy；①BD的方程为1122xxyy．②联立,ACBD的方程，解得121221(,1)2()yyExxxx．对于①，令0y，得222(,0)2yCx；对于②，令0y，得112(,0)2yDx．于是221212121222112222yyxxCDxxxx．121(1)2ECDSCDxx．不妨设10xa，20xb，则2222111111()(1)(22)44ECDabSabababababab1111()(2)2(2)44abababababab≥③不妨设0abs，则有yxOEDCBAIHGFE1111xx-1331111111(2)(.....)223399ECDSssssssss6个9个1243691616111116)]8()2393sss≥32188)339．④又由当12333,,333xaxbs时，③，④处的等号均可取到．∴min8()39ECDS．注记：不妨设311()(2)2gssss，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由2211()(32)2gsss知当2103s时()0gs；当213s时()0gs．则()gs在3(0,)3上单调减，在3(,)3上单调增．于是当33s时()gs取得最小值．4．向量OA与OB已知夹角，1OA，2OB，(1)OPtOA，OQtOB，01t≤≤．PQ在0t时取得最小值，问当0105t时，夹角的取值范围．（25分）【解析】不妨设OA，OB夹角为，则1,2OPtOQt，令222()(1)42(1)2cosgtPQtttt2(54cos)(24cos)1tt．其对称轴为12cos54cost．而12()54xfxx在5(,)4上单调增，故12cos1154cos3≤≤．当12cos1054cos3≤≤时，012cos1(0,)54cos5t，解得223．当12cos1054cos≤时，()gt在[0,1]上单调增，于是00t．不合题意．于是夹角的范围为2[,]23．5．存不存在02x，使得sin,cos,tan,cotxxxx为等差数列．（25分）【解析】不存在；否则有(cossin)(cossin)cossincottansincosxxxxxxxxxx，则cossin0xx或者cossin1sincosxxxx．若cossin0xx，有4x．而此时22,,1,122不成等差数列；若cossin1sincosxxxx，有2(sincos)12sincosxxxx．解得有sincos12xx．而11sincossin2(0,]22xxx，矛盾！2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试数学试题请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题。每题20分，共100分。【试题解答】1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。解析：平行...
