2.3.12.3.1等差数列的前n项和复习引入1.等差数列定义:即an-an-1=d(n≥2).2.等差数列通项公式:(2)an=am+(n-m)d.(3)an=pn+q(p、q是常数)(1)an=a1+(n-1)d(n≥1).复习引入11naadnmnaadmn1nnaad3.几种计算公差d的方法:复习引入4.等差中项bAabaA,,2成等差数列.复习引入m+n=p+qam+an=ap+aq.(m,n,p,q,kN)∈5.等差数列的性质m+n=2kam+an=2ak数列前n项和的意义数列{an}:a1,a2,a3,…,an,…我们把a1+a2+a3+…+an叫做数列{数列{aann}的}的前前nn项和,记作项和,记作SSnn.高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家出道题目:1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:1+2+3+…+100=5050.”教师问:“你是如何算出答案的?”高斯回答说:“因为1+100=101;2+99=101;…50+51=101,所以101×50=5050”.“倒序相加”法高斯求和的故事等差数列1,2,…50,51,…100的和Sn=1+2+…+1001+100=2+99=3+98=…=50+51=101Sn=1012100=5050等差数列的前n项和公式的推导,1a,2a,3a,na…,…,等差数列的前n项和个(((nnnnnaaaaaaS)))2111)1naan(2)1nnaanS(Sn=a1+a2+a3+…+an-1+anSn=an+an-1+an-2+…+a2+a1等差数列的前n项和公式的其它形式2)1nnaanS(dnaan)1(1dnnnaSn2)11(dnaan)1(1dnnnaSnn2)1(ndandSn)2(212对于这两个公式分别有四个未知数,如果已知其中的任何三个可以求另外一个例1一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔?解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔,且自下而上各层的铅笔数组成等差数列,记为na120,120,11201naa.72602)1201(120120S2)1nnaanS(答:V形架上共放着7260支铅笔.讲解范例:例2.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?例3求集合的元素个数,并求这些元素的和.100,,7|mNnnmmM且解:1007n72147100n所以集合M中的元素共有14个.将它们从小到大列出,得,7,72,73,74,,714即7,14,21,28,…,98这个数列是成等差数列,记为na14,98,7141naa.7352)987(1414S2)1nnaanS(答:集合M共有14个元素,它们的和等于735.例4.已知一个等差数列{an}前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项的和吗?等差数列的前n项和练习11.根据下列条件,求相应的等差数列的nanS;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda2)1nnaanS(.5002)955(1010SdnnnaSn2)11(2550)2(2)150501005050(S练习1.根据下列条件,求相应的等差数列的nanS;14,23,32)3(1naan.32,7.0,5.14)4(1nada2)1nnaanS(.6352)]2/3(3/2[1414Sdnaan)1(1,2617.05.1432n.5.6042)325.14(2626S练习1.求自然数中前n个数的和.2)1nnaanS(.2)1(2)1(nnnnSn2.求自然数中前n个偶数的和.2)1nnaanS().1(2)22(nnnnSn课堂小结1.等差数列的前n项和公式一:2)(1nnaanS2.等差数列的前n项和公式二:2)1(1dnnnaSnndandSn)2(212