空间的距离一．复习目标：1．理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，点到平面的距离，直线和平面的距离，两平行平面间的距离；2．掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化．二．知识要点：1．点到平面的距离：．2．直线到平面的距离：．3．两个平面的距离：．4．异面直线间的距离：．三．课前预习：1．在中，，所在平面外一点到三顶点的距离都是，则到平面的距离是（）2．在四面体中，两两垂直，是面内一点，到三个面的距离分别是，则到的距离是（）3．已知矩形所在平面，，，则到的距离为，到的距离为．4．已知二面角为，平面内一点到平面的距离为，则到平面的距离为．四．例题分析：例1．已知二面角为，点和分别在平面和平面内，点在棱上，，（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）设是线段上的一点，直线与平面所成的角为，求的长（1）证明：作于，连接，∵，，∴，∴，平面，平面，∴．解：（2）作于，用心爱心专心1∵平面，∴，∴，是点到平面的距离，由（1）知，∴．∴点到平面的距离为．（2）连接，∵，与平面所成的角为，，，∴，∵，，为正三角形，是中点，∴是中点，∴．小结：求点到平面的距离关键是寻找点到的垂线段．例2．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．解：建立如图的空间直角坐标系，设，则，，，，∵分别是，与的中点，∴，∵是的重心，，∴，，，∵平面，得，且与平面所成角，，，，（2）是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的两倍，用心爱心专心2GEDC1B1A1CBAzGEDC1B1A1CBAxy∵平面，到平面的距离等于．小结：根据线段和平面的关系，求点到平面的距离可转化为求到平面的距离的两倍．例3．已知正四棱柱,点为的中点，点为的中点，（1）证明:为异面直线的公垂线；（2）求点到平面的距离．解：（1）以分别为轴建立坐标系，则，，，，，，，∴，∴为异面直线的公垂线．（2）设是平面的法向量，∵，∴，，，点到平面的距离．小结：由平面的法向量能求出点到这个平面的距离．用心爱心专心3FE1111DCBADCBA五．课后作业：班级学号姓名1．已知正方形所在平面，，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则（）2．把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，点到的距离是（）3．四面体的棱长都是，两点分别在棱上，则与的最短距离是（）4．已知二面角为，角，，则到平面的距离为．5．已知长方体中，，那么直线到平面的距离是．6．如图，已知是边长为的正方形，分别是的中点，，，（1）求证：；（2）求点到面的距离．用心爱心专心4OGFEDCBA用心爱心专心57．在棱长为1的正方体中，（1）求：点到平面的距离；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面的距离；（4）求直线到的距离．用心爱心专心6
