高考数学竞赛 集合与简易逻辑教案讲义（1）VIP免费

第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合A中，称x属于A，记为Ax，否则称x不属于A，记作Ax。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，}0{xx分别表示有理数集和正实数集。定义2子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为BA，例如ZN。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。定义3交集，}.{BxAxxBA且定义4并集，}.{BxAxxBA或定义5补集，若},{,1AxIxxACIA且则称为A在I中的补集。定义6差集，},{\BxAxxBA且。定义7集合},,{baRxbxax记作开区间),(ba，集合},,{baRxbxax记作闭区间],[ba，R记作).,(定理1集合的性质：对任意集合A，B，C，有：（1）);()()(CABACBA（2）)()()(CABACBA；（3）);(111BACBCAC（4）).(111BACBCAC【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。用心爱心专心（1）若)(CBAx，则Ax，且Bx或Cx，所以)(BAx或)(CAx，即)()(CABAx；反之，)()(CABAx，则)(BAx或)(CAx，即Ax且Bx或Cx，即Ax且)(CBx，即).(CBAx（3）若BCACx11，则ACx1或BCx1，所以Ax或Bx，所以)(BAx，又Ix，所以)(1BACx，即)(111BACBCAC，反之也有.)(111BCACBAC定理2加法原理：做一件事有n类办法，第一类办法中有1m种不同的方法，第二类办法中有2m种不同的方法，…，第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事一共有nmmmN21种不同的方法。定理3乘法原理：做一件事分n个步骤，第一步有1m种不同的方法，第二步有2m种不同的方法，…，第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事一共有nmmmN21种不同的方法。二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例1设},,{22ZyxyxaaM，求证：（1）)(,12ZkMk；（2）)(,24ZkMk；（3）若MqMp,，则.Mpq用心爱心专心2．利用子集的定义证明集合相等，先证BA，再证AB，则A=B。例2设A，B是两个集合，又设集合M满足BAMBABAMBMA,，求集合M（用A，B表示）。3．分类讨论思想的应用。例3}02{},01{},023{222mxxxCaaxxxBxxxA，若CCAABA,，求.,ma4．计数原理的应用。例4集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若IBA，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。5．配对方法。例5给定集合},,3,2,1{nI的k个子集：kAAA,,,21，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k的值。用心爱心专心6．竞赛常用方法与例问题。定理4容斥原理；用A表示集合A的元素个数，则,BABABACBACBCABACBACBA，需要xy此结论可以推广到n个集合的情况，即nikjijinkjijiiniiAAAAAAA111.)1(11niinA定义8集合的划分：若IAAAn21，且),,1(jinjiAAji，则这些子集的全集叫I的一个n-划分。定理5最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。定理6抽屉原理：将1mn个元素放入)1(nn个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1m个元素，也必有一个抽屉放有不多于m个元素；将无穷多个元素放入n个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。例6求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。例7...