第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式突破点一同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝.2．同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ＝tan表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．()答案：(1)×(2)×二、填空题1．已知α∈，sinα＝，则tanα＝________.解析： α∈，sinα＝，∴cosα＝－，于是tanα＝－.答案：－2．已知tanα＝2，则的值为________．解析：原式＝＝＝3.答案：3考法一知弦求弦、切或知切求弦利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．[例1](1)(2019·成都龙泉中学月考)设cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()A.B．－C.D．－(2)(2019·甘肃诊断)已知tanx＝，且角x的终边落在第三象限，则cosx＝()A.B．－1C.D．－[解析](1) cos(－80°)＝cos80°＝k，∴sin80°＝＝，∴tan100°＝－tan80°＝－.故选B.(2)因为角x的终边落在第三象限，所以cosx<0，因为tanx＝，所以解得cosx＝－，故选D.[答案](1)B(2)D[易错提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．考法二知切求f(sinα、cosα)的值[例2](2019·保定三校联考)已知tan(3π＋α)＝3，则＝()A.B.C.D．2[解析] tan(3π＋α)＝3，∴tanα＝3，∴＝＝＝.故选B.[答案]B[方法技巧]利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：①sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；②sinα，cosα的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tanα＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧．考法三sinα±cosα与sinαcosα关系的应用[例3](1)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为()A.B．±C．－D．－(2)已知－<α<0，sinα＋cosα＝，则＝()A.B.C.D.[解析](1)因为sinαcosα＝，所以(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，因为<α<，所以cosα0>sinα，∴cosα－sinα＝，∴＝＝＝.[答案](1)D(2)B2[方法技巧]正弦、余弦“sinα±cosα，sinα·cosα”的应用sinα±cosα与sinα·cosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝，sinαcosα＝.因此在解题中已知1个可求另外2个．1.已知α∈(0，π)，cosα＝－，则tanα＝()A.B．－C.D．－解析：选D cosα＝－且α∈(0，π)，∴sinα＝＝，∴tanα＝＝－.故选D.2.已知sinα＋cosα＝，则sinαcosα的值为________．解析： sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2sinαcosα＝，解得sinαcosα＝－.答案：－3.已知tanα＝－，求：(1)的值；(2)的值；(3)sin2α＋2sinαcosα的值．解：(1)＝＝＝.(2)＝＝＝＝＝－.(3)sin2α＋2sinαcosα＝＝＝＝－.突破点二三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α一、判断题(对的打“√”...
