函数的单调性对称性和周期性考点１函数单调性判断的两种思维方法讨论函数f（x）=x+xa（a>0）的单调性.方法一显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=（x1+1xa）-（x2+2xa）=(x1-x2)·（1-21xxa）.∴当0
1,则f（x1）-f（x2）<0，即f(x1)x2≥a时，0<21xxa<1，则f（x1）-f（x2）>0,即f(x1)>f(x2),故f（x）在［a，+∞）上是增函数. f（x）是奇函数，∴f（x）分别在（-∞，-a］、［a，+∞）上为增函数；f（x）分别在［-a，0）、（0，a］上为减函数.方法二由)(xf=1-2xa=0可得x=±a当x>a时或x<-a时，)(xf>0,∴f（x）分别在（a，+∞）、（-∞，-a］上是增函数.同理00,b>0时的常数，其图象在ab,0，,0ba上单调递减，在,ba,ab上单调递增，在（0，+∞）上图象似“对号”的形状，故简称为“对号函数”.本题不就是换元法化归对号函数区间上的单调性求最值吗？考点２复合函数确定单调区间树立定义域优先的意识例求函数y=21log（4x-x2）的单调区间.解由4x-x2>0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y=21logt.用心爱心专心 t=4x-x2=-(x-2)2+4，∴t=4x-x2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］.又y=21logt在（0，+∞）上是减函数，∴函数y=21log（4x-x2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).例要使函数1,log1,242xxxaxxxfa在R上是减函数，则实数a的取值范围为A21,0B43,21C1,21D1,4321,0解析认识R上单调的意义，注意分界点处函数值满足的条件，构建不等式组有43211log1411242aaaa点评本题由06北京高考题改编而来，考查R上单调的意义，对分界点处要注意两段函数函数值的大小关系，对运动变化观念和数形结合思想的应用都进行了考查。考点３复合函数的＂同步为增，异步为减＂的认识和应用考点４函数的奇偶性和对称性定义在R的函数xfy在a,上是增函数，且函数axfy是偶函数，当axaxaxax2121,,时，有A2122xafxafB2122xafxafC2122xafxafD212,2xafxaf大小不确定解析由复合函数的对称轴确定外层函数的对称轴，借助图像平移研究，axfy是偶函数向右平移a个单位得到xfy，则其对称轴为ax，注意到xfy在a,上是增函数和axaxaxax2121,,的意义作草图可知有2122xafxaf；点评复合函数与其外层函数之间的关系，借助图象变换认识直观，利用对称性和单调性比较大小，这是函数图像和性质的具体应用。例（０８重庆）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是Af(x)为奇函数Bf(x)为偶函数Cf(x)+1为奇函数Df(x)+1为偶函数解析：赋值运算为突破口。令x1=x2=0,可得1)0(f，于是令x1=x,x2=-x即得2)()(xfxf，f(x)的图像关于)1,0(对称，所以f(x)+1的图像关于)0,0(对称，f(x)+1为奇函数，选c.用心爱心专心点评若如果对于定义域内的任意一个x的值，)()(xbfxaf.则函数)(xf的图像关于点(,0)2ab中心对称.特别地，若),()(xafxaf则函数)(xf的图像关于点)0,(a中心对称.这是研究函数本身关于特殊点对称的充要条件。例（０８全国1）奇函数)(xf，且在在),0(上为增函数，且0)1(f，则不等式0)()(xxfxf的解集为（...
