第2课时空间几何体的表面积和体积基础梳理柱、锥、台和球的侧面积和体积教材回扣夯实双基面积体积圆柱S侧＝______V＝___＝_____圆锥S侧＝____V＝13Sh＝_____＝13πr2l2－r22πrhShπr2hπrl13πr2h面积体积圆台S侧＝________V＝13(S上＋S下＋S上·S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝____V＝____π(r1＋r2)lChSh面积体积正棱锥S侧＝_______V＝______正棱台S侧＝__________V＝13(S上＋S下＋S上·S下)h球S球面＝______V＝______4πR212Ch′13Sh43πR312(C＋C′)h′课前热身1．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是()A.3B．3C．4D．5解析：选B.设球半径为R，则43πR3＝4πR2，∴R＝3.2．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于()A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2解析：选B.由三视图可知该几何体是圆锥，其底面半径为3，母线长l＝5，∴S侧＝π×3×5＝15π(cm2)．3．(2011·高考福建卷)三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．解析： PA⊥底面ABC，∴PA为三棱锥P－ABC的高，且PA＝3. 底面ABC为正三角形且边长为2，∴底面面积为12×22×sin60°＝3，∴VP－ABC＝13×3×3＝3.答案：34．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．解析：此几何体的上部为球，球的直径为2，下部为一圆柱，圆柱的高为3,底面圆的直径为2，所以S表＝4π＋π＋π＋2π×3＝12π.答案：12π考点探究讲练互动考点突破考点突破(2011·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()例例11几何体的表面积A．32B．16＋162C．48D．16＋322【解析】由三视图还原几何体的直观图如图所示．S表＝12×4×22×4＋4×4＝16＋162.【答案】B【题后感悟】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．备选例题(教师用书独具)(2011·高考四川卷)如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．例例【解析】法一：圆柱的轴截面如图所示，设球的半径与圆柱的高所成的角为α，则圆柱底面半径为4sinα，高为8cosα，∴S圆柱侧＝2π·4sinα·8cosα＝32πsin2α.当sin2α＝1时，S圆柱侧最大为32π.此时S球表－S圆柱侧＝4π·42－32π＝32π.法二：设圆柱底面半径为r，则其高为2R2－r2，∴S圆柱侧＝2πr·2R2－r2＝4πr2R2－r2≤4πr2＋R2－r22＝2πR2当且仅当r2＝R2－r2，即r＝22R时取“＝”.又R＝4，∴S圆柱侧最大为32π.此时S球表－S圆柱侧＝4π·42－32π＝32π.【答案】32π变式训练1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．(2＋5)πB．(3＋5)πC．6πD．(2＋6)π解析：选A.该几何体的直观图为上面是一个圆锥，下面是一个同底的圆柱，如图所示．该几何体的表面积为S＝2π＋π＋4π＝(2＋5)π，故选A.(2011·高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.例例22几何体的体积【答案】6＋π【解析】此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆锥＝3×2×1＋×12×3＝(6＋π)m3.【题后感悟】给出几何体的三视图,求该几何体的体积或表面积时，可以根据三视图还原出实物，画出该几何体的直观图，确定该几何体的结构特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种．若所给几何体为不规则几何体，常用等积转换法和割补法求解．备选例题(教师用书独具)一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E－ABC组合而成的，点A、B、C在圆O的圆周上，其正视图、侧视图的面积分别为10和12，如图所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC...
