2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案ACDABCBB二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．710．11．12．13．①②③14．15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（1）解：∵，∴函数的最小正周期为．（2）解：∵函数，又的图像的对称轴为（），令，将代入，得（）．∵，∴．17．（本小题满分12分）解：设表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金数减半，即分别为500，400，300，0．则的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0．依题意得，，则的分布列为奖金10008006005004003000概率所以所求期望值为元．答：一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是675元．18．（本小题满分14分）（1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，∴．在正方形中，，∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．第1页共5页（2）解法1：∵平面，平面，∴．∴为圆的直径，即．设正方形的边长为，在△中，，在△中，，由，解得，．∴．过点作于点，作交于点，连结，由于平面，平面，∴．∵，∴平面．∵平面，∴．∵，，∴平面．∵平面，∴．∴是二面角的平面角．在△中，，，，∵，∴．在△中，，∴．故二面角的平面角的正切值为．解法2：∵平面，平面，∴．∴为圆的直径，即．设正方形的边长为，在△中，，在△中，，由，解得，．∴．以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．设平面的法向量为，则即取，则是平面的一个法向量．设平面的法向量为，则即取，则是平面的一个法向量．第2页共5页GFxyz∵，∴．∴．故二面角的平面角的正切值为．19．（本小题满分14分）（1）解：∵，∴．令，得．①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．②若，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值．③若，则，函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值．综上可知，当时，函数在区间上无最小值；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为．（2）解：∵，，∴．由（1）可知，当时，．此时在区间上的最小值为，即．当，，，∴．曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．而，即方程无实数解．故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直．第3页共5页20．（本小题满分14分）（1）解：设，则，∵，∴．即，即，所以动点的轨迹的方程．（2）解：设圆的圆心坐标为，则．①圆的半径为．圆的方程为．令，则，整理得，．②由①、②解得，．不妨设，，∴，．∴，③当时，由③得，．当且仅当时，等号成立．当时，由③得，．故当时，的最大值为．21．（本小题满分14分）（1）解：当时，有，由于，所以．当时，有，即，将代入上式，由于，所以．（2）解：由，得，①则有．②②－①，得，由于，所以．③同样有，④第4页共5页③－④，得．所以．由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．故．（3）证明1：由于，，所以．即．令，则有．即，即故．证明2：要证，只需证，只需证，只需证．由于．因此原不等式成立．第5页共5页
