(湖南专用)2013年高考数学总复习-(教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考)第二章第11课时-导数与函数的单VIP专享VIP免费

第11课时导数与函数的单调性、极值教材回扣夯实双基基础梳理1．函数的导数与单调性在某个区间内，若f′(x)＞0，则函数y＝f(x)在这个区间内__________；若f′(x)＜0，则函数y＝f(x)在这个区间内___________．单调递增单调递减2．函数的导数与极值(1)极大值：如果在x0附近的左侧f′(x)_____0,右侧f′(x)_____0,且f′(x0)_____0，那么f(x0)是极大值；(2)极小值：如果在x0附近的左侧f′(x)_____0,右侧f′(x)_____0,且f′(x0)_____0，那么f(x0)是极小值．＞＜＜＞＝＝思考探究若f′(x0)＝0,则x0一定是f(x)的极值点吗？提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数f(x)＝x3，在x＝0时，有f′(x)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．课前热身1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则实数a等于()A．2B．3C．4D．5答案：D2．函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1,1)解析：选A. f′(x)＝2x－2x＝2x＋1x－1x(x＞0)．∴当x∈(0,1)时f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时f′(x)＞0，f(x)为增函数．3．已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的取值范围是________．解析： f′(x)＝3x2－a，f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f′(x)≥0，∴a≤3x2，∴a≤3.又a＞0，可知0＜a≤3.答案：(0,3]4．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝______处取得极小值．解析：由f(x)＝x3－3x2＋1得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数,当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0,f(x)为增函数，故当x＝2时,函数f(x)取得极小值．答案：2考点探究讲练互动考点突破考点突破函数的单调性与导数(2011·高考天津卷节选)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t∈R.例1(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当t≠0时，求f(x)的单调区间．【解】(1)当t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6.所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.(2)f′(x)＝12x2＋6tx－6t2.令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝t2.因为t≠0，所以分两种情况讨论：①若t<0，则t2<－t.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，t2t2，－t(－t，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)所以，f(x)的单调递增区间是－∞，t2，(－t，＋∞)；f(x)的单调递减区间是t2，－t.②若t>0，则－t