教材习题解答第一章集合及其运算8P习题3.写出方程2210xx的根所构成的集合。解：2210xx的根为1x，故所求集合为{1}4.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A，A；b)对每个集A，A；c)对每个集A，{}AA；d)对每个集A，AA；e)对每个集A，AA；f)对每个集A，{}AA；g)对每个集A，2AA；h)对每个集A，2AA；i)对每个集A，{}2AA；j)对每个集A，{}2AA；k)对每个集A，2A；l)对每个集A，2A；m)对每个集A，{}AA；n){}；o){}中没有任何元素；p)若AB，则22ABq)对任何集A，{|}AxxA；r)对任何集A，{|}{|}xxAyyA；s)对任何集A，{|}yAyxxA；t)对任何集A，{|}{|}xxAAAA；答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真5.设有n个集合12,,,nAAA且121nAAAA，试证：12nAAA证明：由1241nAAAAA，可得12AA且21AA，故12AA。同理可得：134nAAAA因此123nAAAA6.设{,{}}S，试求2S？解：2{,{},{{}},{,{}}}S7.设S恰有n个元素，证明2S有2n个元素。证明：（1）当n＝0时，0,2{},212SSS，命题成立。（2）假设当(0,)nkkkN时命题成立，即22Sk（Sk时）。那么对于1S（11Sk），12S中的元素可分为两类，一类为不包含1S中某一元素x的集合，另一类为包含x的集合。显然，这两类元素个数均为2k。因而1122Sk，亦即命题在1nk时也成立。由（1）、（2），可证得命题在nN时均成立。16P习题1.设A、B是集合，证明:()()ABBABBB证：当B时，显然()()ABBABB，得证。假设B，则必存在xB，使得()xABB但()xABB，故()()ABBABB与题设矛盾。所以假设不成立，故B。2.设A、B是集合，试证ABAB证：显然。反证法：假设A，则0xA，若0xB，则0x左，但0x右，矛盾。若0xB，则0x左，但0x右，矛盾。故假设不成立，即A。3.设A，B，C是集合，证明：()()ABCABC证：()[()()][()()]CCABCABBACABBAC[()()]((()()))()()((()()))CCCCCCCCCCABBACCABBAABCBACCABBA()()((()()))CCCCCCABCBACCABAB()()()()CCCCCCABCABCABCABC由上式可以看出此展开式与A、B、C的运算顺序无关，因此，()()ABCABC4.设A，B，C为集合，证明()()ABCABC证：因为()()CCCABCABCABC=()CABC=()ABC。5.设A，B，C为集合，证明：()()()ABCACBC证：()()()()CCCABCABCACBC＝()()ACBC。6.设A，B，C为集合，证明：()()()ABCACBC证明：()()CCABCABCABC()()CCACBC=()()ACBC7.设A，B，C都是集合，若ABAC且ABBC，试证B=C。证：证1：xB，则若xA，则()xAB。由于ABAC，故()xAC，即xC；若xA，则()xAB，由于ABAC，故xAC。又xA，只能有xC。因此，xB，总有xC，故BC。同理可证，CB。因此BC。证2：()()()()BBABBACBABC()()()()CABCCABCACC8.设A，B，C为集合，试证：()()()ABCABCB证：证Ⅰ()xABC，有,,xAxBxC，因此，()xAB，()xCB。故()()xABCB，即()ABC()()ABCB。反之，()()xABCB，有()xAB，()xCB。因此,,xAxBxC。故()xABC，即()()ABCB()ABC。所以()ABC＝()()ABCB。证Ⅱ：()()()()()()CCCCCABCBABCBABCB()()CCABCABC9.设XYZ，证明()()ZYXXZY证：证1：()xZYX)()(XYZXYZCCC，有xZ且xY或xX。则若xZ且xY，则xZY，于是()xXZY。若xZ且xX，则()xXZY，从而()()ZYXXZY。反之，()xXZY，则xX或xZY。若xX，则由XYZ有,xYxZ，故xYX，因此()xZYX。若xZY，则xZ但xY，故xYX，因此()xZYX。从而()()XZYZYX。由集合相等的定义，()()ZYXXZY。证2：()()()()()CCCZYXZYXZYXZYZX，因为XZ，所以()()()CZYXZYXXZY。10.下列命题是否成立？(1)()()ABCABC；(2)()()ABCABC；(3)()()ABCABB。解：（1），（2），（3）都不成立。反例如下：（1）BCA},1{,任意，则(){1};()ABCCABC。（2）{1},,{1}ABC，则(){1};()ABCABC。（3）,{1},{1,2}ABC，则();(){2}ABCACB。11．下列命题哪个为真？a)对任何集合A,B,C，若ABBC，则A=C。b)设A,B,C为任何集合，若ABAC，则B=C。c)对任何集合A,B，222ABAB。d)对任何集合A,B，222ABAB。e)对任何集合A,B，222ABAB。f)对任何集合A,B，222ABAB。答案：d是真命题。12．设R,S,T是任何三个集合，试证：（1）()()STSTST；（2）()()()RSTRSRT；（3）()()()()()RSRTRSTRSRT；（4）()()()RSTRSRT证：（1）xST)()(STTS，则若xS，则xT。因而()xST且()xST，故()()xSTST；若xS，则xT，同理可得()()xSTST。故ST()()STST。反之，因为()()STST，故()(...
