4.4.2参数方程与普通方程的互化VIP免费

参数方程（二）[基础·初探]1．过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝，y＝(l为参数)，其中参数l的几何意义：有向线段P0P的数量(P为该直线上任意一点)．2．圆x2＋y2＝r2的参数方程为x＝，y＝(θ为参数)．圆心为M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝，y＝(θ为参数)．x0＋lcosαy0＋lsinαrcosθrsinθx0＋rcosθy0＋rsinθ3．椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝，y＝(φ为参数)．acosφbsinφ[基础·初探]直线的参数方程直线参数方程的常见形式：过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝，y＝(l为参数)．其中参数l的几何意义是有向线段P0P的数量，|l|表示P0P的长度．x0＋lcosαy0＋lsinα[思考·探究]1．怎样理解参数l的几何意义？【提示】参数l的几何意义是P0到直线上任意一点P(x，y)的有向线段P0P的数量．当点P在点P0的上方或右方时，l取正值，反之，l取负值；当点P与P0重合时，l＝0.2．如何由直线的参数方程求直线的倾斜角？【提示】如果直线的参数方程是x＝x0＋tcosθ，y＝y0＋tsinθ(t为参数)的形式，由方程直接可得出倾斜角，即方程中的角θ，例如，直线的参数方程为x＝1＋tcos15°，y＝1＋tsin15°，则直线的倾斜角为15°.如果不是上述形式，例如直线x＝1＋tsin15°，y＝1＋tcos15°(t为参数)的倾斜角就不能直接判断了．第一种方法：把参数方程改写为x－1＝tsin15°，y－1＝tcos15°，消去t，有y－1＝1tan15°(x－1)，即y－1＝tan75°(x－1)，故倾斜角为75°.第二种方法：把原方程化为参数方程和标准形式，即x＝1＋tcos75°，y＝1＋tsin75°，可以看出直线的倾斜角为75°.参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)x＝t＋1t－1，y＝2tt3－1(t为参数)；(2)x＝5cosθ，y＝4sinθ－1(θ为参数)．【自主解答】(1)由x＝t＋1t－1，得t＝x＋1x－1.代入y＝2tt3－1化简得y＝x＋1x－123x2＋1(x≠1)．(2)由x＝5cosθ，y＝4sinθ－1得cosθ＝x5，①sinθ＝y＋14.②①2＋②2得x225＋y＋1216＝1.[再练一题]1．将下列参数方程化为普通方程：(1)x＝t＋1t，y＝t2＋1t2(t为参数)；(2)x＝2＋3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．【解】(1) x＝t＋1t，∴x2＝t2＋1t2＋2.把y＝t2＋1t2代入得x2＝y＋2.又 x＝t＋1t，当t＞0时，x＝t＋1t≥2；当t＜0时，x＝t＋1t≤－2.∴x≥2或x≤－2.∴普通方程为x2＝y＋2(x≥2或x≤－2)．(2)x＝2＋3cosθ，y＝3sinθ可化为cosθ＝x－23，sinθ＝y3.两式平方相加，得(x－23)2＋(y3)2＝1.即普通方程为(x－2)2＋y2＝9.普通方程化为参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)x－123＋y－225＝1，x＝3cosθ＋1.(θ为参数)(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)【自主解答】(1)将x＝3cosθ＋1代入x－123＋y－225＝1得：y＝2＋5sinθ.∴x＝3cosθ＋1，y＝5sinθ＋2(θ为参数)，这就是所求的参数方程．(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得：y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1，∴x＝t＋1，y＝t2＋3t＋1(t为参数)，这就是所求的参数方程．[再练一题]2．已知圆的方程为x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参数方程．【导学号：98990029】【解】把x2＋y2＋2x－6y＋9＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.∴参数方程为x＝－1＋cosθ，y＝3＋sinθ(θ为参数).求直线的参数方程已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.(1)写出直线l的参数方程；(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点．【自主解答】(1)直线l的参数方程为x＝3＋tcos120°，y＝4＋tsin120°(t为参数)，即x＝3－12t，y＝4＋32t(t为参数)．(2)把x＝3－12t，y＝4＋32t代入x－y＋1＝0，得3－12t－4－32t＋1＝0，得t＝0.把t＝0代入x＝3－12t，y＝4＋32t得两直线的交点为(3,4)．[再练一题]1．已知两点A(1,3)，B(3,1)和直线l：y＝x，求过点A、B的直线的参数方程，并求...