第4讲函数的单调性与最值1．函数的单调性定义f(x1)f(x2)单调减区间2．用导数的语言来讲函数的单调性设函数y＝f(x)，如果在某区间I上间I上的增函数；如果在某区间I上，那么f(x)为区，那么f(x)为区间I上的减函数．f′(x)>0f′(x)<03．函数的最大(小)值设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A,有恒成立，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大恒值；如果存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有成立，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值．f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)(xR)∈的值域是(1．已知函数f(x)的值域是[－2,3]，则函数f(x－2)的值域为()DA．[－4,1]C．[－4,1][0,5]∪B．[0,5]D．[－2,3]2．函数f(x)＝11＋x2)BA．(0,1)B．(0,1]C．[0,1)D．[0,1])D3．函数y＝x2－6x的减区间是(A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]4．二次函数f(x)＝x2＋2ax＋b在区间(－∞，4)上是减函数，你能确定的是()CA．a≤4B．a≥－2C．a≤－4D．b≤－25．已知f(x)＝3xx－3，x[4,6]∈．则f(x)的最大值与最小值分别为.12,6考点1判断函数的单调性(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数；当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)方法一：设x2>x1≥2，[x1x2(x1＋x2)－a]，＝x1－x2x1x2由x2>x1≥2得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)<0，即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则a≤2x3[16∈，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．【互动探究】1．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．则f(x1)－f(x2)＝2x1－x2x1＋2x2＋2. (x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(1)证明：任设x1＜x2＜－2，(3)y＝2(5)y＝x＋.(2)解：任设1＜x1＜x2，则考点2函数的最值与值域例2：求下列函数的值域：(1)y＝3x＋2x－2；(2)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；x2－xx－x＋1；(4)y＝x＋2x－1；4xf(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝ax2－x1x1－ax2－a. a＞0，x2－x1＞0，∴要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，∴a≤1.综上所述知0＜a≤1.x－x＋1≠0，∴y≠3.解题思路：关于x的一次分式函数，这种题目可通过求关于x的方程在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变形(分离常量)，观察得出结果；有理分式函数，去分母化成关于x的二次方程，用判别式可求值域，也可把函数解析式化成A＋B2(A、B是常数)的形式来求值域；用换元法将无理函数化为有理函数或将已知等式化成关于x的二次方程，用判别式求函数的值域．解析：(1)方法一：y＝3x＋2x－2＝3x－6＋8＝3＋x－28x－2，由于8x－2(3)方法一：y＝2＝1－2x－x＋1∴函数y＝3x＋2x－2的值域是{y|yR∈且y≠3}．3x＋2方法二：由y＝，得x＝x－22y＋1y－3，∴y≠3.(2) y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x[∈－5，－2]，∴其图像是开口向下，顶点为(－1,4)，在x[∈－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．∴当x＝－5时，ymin＝－12；当x＝－2时，ymax＝3.∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．x2－xx－x＋11. x2－x＋1＝x－122＋34，∴－13≤1－1x2－x＋1<1，即－13≤y<1，故值域为－13，1.方法二：去分母，整理得(y－1)x2－(y－1)x＋y＝0.易知y≠1，故上式可看作是关于x的二次方程， x∈R，∴方程有实根，∴Δ＝(y－1)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1.又y≠1，故值域为－13，1(4)设u＝2x－1x≥12，则x＝1＋u22(u≥0)，∴y＝1＋u22＋u＝u...
