8.1--椭圆VIP免费

要点梳理1.椭圆的定义（1）第一定义：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫.这两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c,其中a＞0,c＞0，且a，c为常数：（1）若，则集合P为椭圆；§8.1椭圆基础知识自主学习椭圆焦点焦距a＞c第八章圆锥曲线（2）若，则集合P为线段；（3）若，则集合P为空集.a=ca＜c(2)第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0b>0；(2)a2－b2＝c2.3.椭圆的几何性质标准方程图形)0(12222babyax)0(12222babxay性质范围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心率a,b,c的关系c2=a2-b2准线)1,0(acecax2cay24.参数方程椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的参数方程是x＝acosθy＝bsinθ(θ为参数)．基础自测1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()A.B.C.D.解析设长轴长、短轴长分别为2a、2b,则2a=4b,31332123D.23242222bbbabaace2.设P是椭圆上的点.若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（）A.4B.5C.8D.10解析由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.1162522yxD3．(2009·湖北文，5)已知双曲线x22－y22＝1的准线过椭圆x24＋y2b2＝1(b>0)的焦点，则b等于()A．3B.5C.3D.2解析双曲线x22－y22＝1的准线方程为x＝±1.又椭圆的焦点为(±4－b2，0)，故4－b2＝1.∴b2＝3，∴b＝3.C4.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（）A.9B.1C.1或9D.以上都不对解析由题意得∴a=5，c=4.∴a+c=9，a-c=1.54C,543acb5.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为.解析由已知得∠AF1F2=30°，故cos30°=，从而e=.23ac23题型一椭圆的定义【例1】一动圆与已知圆O1：（x+3)2+y2=1外切,与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件.思维启迪题型分类深度剖析解两定圆的圆心和半径分别为O1(-3，0),r1=1；O2(3,0)，r2=9.设动圆圆心为M(x，y),半径为R，则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.∴|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a=5，c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16，故动圆圆心的轨迹方程为.1162522yx探究提高平面内一动点与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a，当2a>|F1F2|时,动点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在.已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线知能迁移1解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|=|PN|，又AM是圆的半径，∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6＞|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.答案B题型二椭圆的标准方程【例2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.思维启迪设椭圆方程为)0(1122222222baaybxbyax或根据题意求a,b得方程.解方法一设所求的椭圆方程为由已知条件得解得a=4,c=2,b2=12.故所求方程为),0(1)0(122222222babxaybabyax或,35)2(352222ca.11216112162222xyyx或方法二设所求椭圆方程为两个焦点分别为F1，F2.由题意知2a=|PF1|+|PF2|=8,∴a=4.在方程中，令x=±c得|y|=,在方程中，令y=±c得|x|=,依题意有=3，∴b2=12.∴椭圆的方程为)0(12222babyax)...