备课资讯7构造函数与方程解决三角函数问题函数与方程思想是中学数学的基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用．现就三角函数中的有关问题说明其应用．一、构造方程证明三角等式【例1】已知θ∈(0，π)，证明1＋sinθ－1－sinθ＝2cosθ2.证明方程1＋x－1－x＝2cosθ2，两边平方整理得1－x2＝2cos2θ2－1＝cosθ.再平方得x2＝1－cos2θ＝sin2θ.注意到x>0，得x＝sinθ.将x＝sinθ代入方程得1＋sinθ－1－sinθ＝2cosθ2.点评在所证等式中反复出现某一代数式，因此可考虑将其换成x，从而构造出关于x的方程．再比如：求证2(1＋sinα)·(1－cosα)＝(1＋sinα－cosα)2，将1＋sinα换成x，从而构造出方程2x(1－cosα)＝(x－cosα)2，解得x＝±sinα.将x＝sinα代入方程即可得所证等式．二、构造函数证明条件等式观察题设条件，运用函数的单调性证明等式．【例2】已知α≠kπ＋π2，β≠kπ(k∈Z)，且(3tanα＋cotβ)3＋tan3α＋4tanα＋cotβ＝0，证明：4tanα＋cotβ＝0.证明由(3tanα＋cotβ)3＋tan3α＋4tanα＋cotβ＝0得(3tanα＋cotβ)3＋(3tanα＋cotβ)＝(－tan3α)＋(－tanα)．①设函数f(x)＝x3＋x，易知f(x)在R上为单调增函数．①式可视为f(3tanα＋cotβ)＝f(－tanα)，则有3tanα＋cotβ＝－tanα，所以4tanα＋cotβ＝0.点评函数在它的某一单调区间上其自变量与函数值是一一对应的，函数值相等时其对应地自变量也是相等的．在解题中要时刻关注代数式的变形及其结构，及时发现其蕴含的函数关系并加以充分利用．三、构造函数求值【例3】已知α，β∈(0，π)，cosα＋cosβ＝32＋cos(α＋β)，求cosα－β2及α＋β的值．解条件等式可化为2cosα＋β2cosα－β2＝32＋2cos2α＋β2－1，即4cos2α＋β2－4cosα＋β2cosα－β2＋1＝0，①所以cosα－β2＝cosα＋β2＋14cosα＋β2.②因为－π2<α－β2<π2，所以cosα－β2>0，所以cosα＋β2>0.当x>0时，函数y＝x＋14x≥2x·14x＝1，当且仅当x＝12时，y＝1，即cosα－β2＝1.此时cosα＋β2＝12，又0<α＋β2<π，所以α＋β2＝π3，得α＋β＝2π3.四、构造函数求最值【例4】求y＝2－cos2x＋94sin2x的最值．解y＝1＋sin2x＋94sin2x.考察函数u＝x＋94x，易知其在0，32上为单调递减函数．由题意可知0
