【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点26-基本不等式(解析版)VIP免费

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点26基本不等式（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标基本不等式的理解与运用；应用基本不等式解决实际问题时条件的把握.二.知识梳理1.常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2aaRa当且仅当”“取,0a（2）abbaRba2,,22则[来源:Zxxk.Com]（3）Rba,，则abba2[来源:学科网]（4）222)2(2baba[来源:Zxxk.Com]2.最值定理:设xyyxyx2,0.,由（1）如积PyxPxy2(有最小值定值），则积（2）如积22(）有最大值（定值），则积SxySyx即:积定和最小，和定积最大新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆3.均值不等式:两个正数的均值不等式：abba2三个正数的均值不等是：33abccban个正数的均值不等式：nnnaaanaaa21214.四种均值的关系：两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222babaabba5.双向不等式是：bababa左边在)0(0ab时取得等号，右边在)0(0ab时取得等号新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆三.考点逐个突破1.利用基本不等式比较大小例1若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝＋，Q＝·，则A．P＝QB．P≥QC．P≤QD．P>Q[答案]C[解析]Q＝·＝≥＝＋＝P.[点评]可用特值法求解，令所有字母全为1，则P＝2，Q＝2，∴P＝Q，排除D；令a＝b＝c＝d＝1，x＝1，y＝4，则P＝4，Q＝5，∴P0,y>0,x+y=1,求证:(1+x1)(1+y1)≥9分析:x+y常数,xy可有最大值证法一:左边＝(1+x1)(1+y1)=1+x1+y1+xy1=1+xyyx+xy1=1+xy2≥1+2)2(2yx=9＝右边(当且仅当x=y=21时取“=”号)证法二：令x=2cosy=2sin,0<<2左边＝(1+x1)(1+y1)=(1+2cos1)(1+2sin1)=1+2sin1+2cos1+2cos1·2sin1=1+22cossin2[来源:学|科|网]=1+2sin82≥1+8=9＝右边0<2<=4时，x=y=21时取等号新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆证法三：∵x+y=1[来源:Zxxk.Com]∴左边＝(1+x1)(1+y1)=(1+xyx)(1+yyx)=(2+xy)(2+yx)=5+2(xy+yx)≥5+4=9＝右边(当且仅当x=y=21时取“=”号)4.基本不等式的实际应用例4.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？[解析](1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件销售价为×150%＋×50%，∴年销售收入为(×150%＋×50%)·Q＝(32Q＋3)＋x，∴年利润W＝(32Q＋3)＋x－(32Q＋3)－x＝(32Q＋3－x)＝(x≥0)．(2)令x＋1＝t(t≥1)，则W＝＝50－.∵t≥1，∴＋≥2＝8，即W≤42，当且仅当＝，即t＝8时，W有最大值42，此时x＝7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．