第五节分析法、综合法与反证法考纲点击1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.热点提示1.本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主.2.反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题.1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论从要出发，逐步寻求使它成立的直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因框图表示文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…推理论证成立证明的结论充分条件2．间接证明反证法：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．不成立矛盾1．若a＜b＜0则下列不等式中成立的是()A.1a＜1bB．a＋1b＞b＋1aC．b＋1a＞a＋1bD.ba＜b＋1a＋1【解析】 a＜b＜0，∴1a＞1b，又b＞a，∴b＋1a＞a＋1b.【答案】C2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】 a，b，c恰有一个是偶数，即a，b，c中只有一个偶数，其反面是两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确．【答案】D3．(2008年日照模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.【答案】C【解析】x2－y2＝a＋b＋2ab2－(a＋b)＝－(a＋b－2ab)2＝－(a－b)22. a，b是不相等的正数，∴a≠b，∴(a－b)2＞0，∴－(a－b)22＜0.∴x2＜y2.又 x＞0，y＞0，∴x＜y.【答案】x＜y5．已知函数f(x)满足：f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，则f2(1)＋f(2)f(1)＋f2(2)＋f(4)f(3)＋f2(3)＋f(6)f(5)＋f2(4)＋f(8)f(7)＝________.【解析】由f(p＋q)＝f(p)f(q)，令p＝q＝n，得f2(n)＝f(2n)．原式＝2f2(1)f(1)＋2f(4)f(3)＋2f(6)f(5)＋2f(8)f(7)＝2f(1)＋2f(1)f(3)f(3)＋2f(1)f(5)f(5)＋2f(1)f(7)f(7)＝8f(1)＝24.【答案】24综合法证明不等式已知x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥.【思路点拨】利用a2＋b2≥2ab，同时变形利用x＋y＋z＝1，从而(x＋y＋z)2＝1可证．【自主探究】 x2＋y2≥2xy，x2＋z2≥2xz，y2＋z2≥2yz，∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2xz＋2yz.∴3x2＋3y2＋3z2≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz.∴3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝1.∴x2＋y2＋z2≥.【方法点评】1.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论)，它的常见书面表达是“ ，∴”或“⇒”．2．综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．1．已知x，y，z为正实数且x，y，z不全相等．求证：x2y＋y2z＋z2x＞x＋y＋z.【证明】 x，y，z为正实数，∴x2y＋y≥2x2y·y＝2x，y2z＋z≥2y2z·z＝2y，z2x＋x≥2z2x·x＝2x.又 x，y，z不全相等，∴以上三式不能同时取到等号，∴以上三式相加得x2y＋y＋y2z＋z＋z2x＋x＞2x＋2y＋2z，即x2y＋y2z＋z2x＞x＋y＋z.分析法已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：【思路点拨】a⊥b⇔a·b＝0，同时注意，a2＝|a|2，将要证式子变形平方即可获证．【自主探究】 a⊥b，∴a·b＝0要证只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．【方法点评】1.分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件．2．分析法是“执果索因”，它是从要...
