5.3--平面向量的数量积VIP免费

§5.3平面向量的数量积要点梳理1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积（或内积），记作.规定：零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两非零向量a与b平行的充要条件是.|a|·|b|cosθa·b=|a||b|·cosθ0a·b=0a·b=±|a||b|基础知识自主学习2.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影的乘积.3.平面向量数量积的重要性质（1）e·a=a·e=；（2）非零向量a，b，a⊥b；（3）当a与b同向时，a·b=；当a与b反向时，a·b=,a·a=，|a|=;（4）cosθ=；（5）|a·b||a||b|.|b|cosθ|a|cosθa·b=0|a||b|-|a||b|a2aa≤|b||a|ba4.平面向量数量积满足的运算律（1）a·b=（交换律）；（2）（a）·b==（为实数）；（3）（a+b）·c=.b·aa·ba·ba·c+b·c5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=，由此得到（1）若a=（x，y）,则|a|2=或|a|.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离|AB|=|AB|=.（3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a⊥b.x1x2+y1y2x2+y2221221)()(yyxxx1x2+y1y2=022yx基础自测1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（）A.B.C.D.解析设a和b的夹角为θ，|a|cosθ=|a|C1351356565|b||a|ba.56565137)4(73)4(2222.若|a|=2cos15°，|b|=4sin15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于（）A.B.C.D.解析B233322130cos||||baba360sin230cos30sin430cos15sin415cos23.已知a=(1,-3),b=(4,6)，c=(2,3)，则a·（b·c）等于（）A.（26，-78）B.（-28，-42）C.-52D.-78解析a·(b·c)=(1,-3)×(4×2+6×3)=(26,-78).A4.向量m=(x-5,1),n=(4,x),m⊥n，则x等于（）A.1B.2C.3D.4解析由m·n=0，得4(x-5)+x=0，得x=4.D5.（2009·江西）已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若（a-c）⊥b,则k=.解析 a-c=(3,1)-(k,2)=(3-k,-1),(a-c)⊥b，b=(1,3),∴(3-k)×1-3=0,∴k=0.0题型一平面向量的数量积【例1】已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin)，且x∈[].(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a+b|时注意x的取值范围.23232x2x4π3π，思维启迪题型分类深度剖析,2cos2sin23sin2cos23cos)1(xxxxxba解xxxxxxxxxxxxcos],4π,3π[|,cos|22cos22)2sin23(sin2cos23cos2sin23sin2cos23cos22）（|ba|)-,(ba＞0∴|a+b|=2cosx.(2)由(1)可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-. x∈[]，∴≤cosx≤1，∴当cosx=时，f(x)取得最小值为-；当cosx=1时，f(x)取得最大值为-1.2123214π,3π2123探究提高（1）与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.（2）求平面向量数量积的步骤：首先求a与b的夹角为θ,θ∈［0°，180°］，再分别求|a|，|b|，然后再求数量积即a·b=|a||b|cosθ，若知道向量的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.知能迁移1（1）已知O是△ABC内部一点，=0，且∠BAC=30°，则△AOB的面积为（）A.2B.1C.D.解析由=0得O为△ABC的重心.∴S△AOB=S△ABC.又cos30°=2，得=4.∴S△ABC=sin30°=1.∴S△AOB=.DOCOBOA,32ACAB2131OCOBOA31||||ACABACAB||||ACAB||||ACAB21313（2）（2009·重庆）已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角是（）A.B.C.D.解析 a·(b-a)=a·b-a2=2,∴a·b=2+a2=3∴cos〈a，b〉=∴a与b的夹角为.C6π4π3π2π,21613|b||a|ba3π题型二利用平面向量的数量积解决垂直问题【例2】已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=（1）求证：a⊥b；（2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb，满足x⊥y，试求此时的最小值.（1）可通过求a·b=0证明a⊥b.（2）由x⊥y得x·y=0，即求出关于k,t的一个方程，从而求出的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而...