抛物线载体下的几何图形纵观近几年的中考试卷，在压轴题里面，以函数（特别是二次函数）为载体，综合几何图形的题型是中考的热点和难点，这类试题常常需要用到数形结合思想，转化思想，分类讨论思想等，这类试题具有拉大考生分数差距的作用．它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容．本课时主要研究抛物线与等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形的综合问题，解决这类试题的关键是弄清函数与几何图形之间的联系，在解题的过程中，将函数问题几何化．同时能够学会将大题分解为小题，逐个击破．考点梳理1、二次函数：基本性质，解析式.2、几何图形：直角三角形、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆.性质与判定.3、数学思想：方程思想、分类讨论思想、数形结合思想.4、把复杂图形简单化，能在以二次函数为背景的几何题中寻找基本图形.学习目标掌握抛物线载体下的几何图形的求解方法。例1：（2013湖南湘西)如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A(－2，0)．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴；4412bxxy（2）求点C的坐标，连接AC、BC，并求线段BC所在直线的解析式；【解题思路】令x＝0，求得y的值，即得出点C的坐标，再根据二次函数的对称性求得点B的坐标，用待定系数法可求的直线BC的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；【解题思路】考虑到△AOC与△COB都是直角三角形，可判定夹直角的两边是否对应成比例，从而可判断两个三角形是否相似；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【解题思路】先假设存在，抛物线的对称轴上的点Q的横坐标都是3，可设纵坐标为c，分三种情况AC＝AQ，CQ＝CA，QA＝QC，分别建立关于c的方程求解．【必知点】（1）用待定系数法求函数解析式是高频考点；（2）判断两个三角形相似，在已知一角相等的前提下，可寻找另一角相等，或利用夹这个角的两边对应成比例来说明；（3）探究一个三角形是否是等腰三角形的时候，实际上就是讨论什么时候有两条边相等，因此需要分三种情况讨论．说明与检测（上）P8323题P106(下）P234P8623P9223例2：（2013四川攀枝花）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（－3，0），B（1，0），C（0，－3）．（1）求抛物线的解析式；【解题思路】已知抛物线与x轴两个交点坐标，可设抛物线两根式的解析式求解；（2）若P为第三象限内抛物线上的一点，记△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；【解题思路】设P点坐标，构建P点横坐标为变量的面积S的二次函数，利用二次函数配方法求最值．（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由．说明与检测（下）P5023P7423P9823例3：（2013山东莱芜）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1，0)、C(－2，1)，交y轴于点M.（1）求抛物线的表达式；【解题思路】利用三点式求出二次函数解析式（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解题思路】在各个象限内，分类讨论以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似.因为没有相似的对应点，所以需要点在不同象限内时，△PAN的形状，确定出对应边，然后利用相似三角形的性质得到对应边相等.然后将对应边的长度转化为点的坐标，从而确定点的坐标．例4：（2013浙江舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B．连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD＝AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．221144yxmmm（1）当m＝2时，求点B的坐标；【解题思路】将m＝2，x＝0直接代入二次函数解析式，便可求得点B的纵坐标；【解题思路】延长EA，交y轴于点F，构造出△AFC与△AED全等，从而得到AF=AE，根据B...
