圆的证明与计算专题1.如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝23，求PD的长．2.如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求DE︵的长度．(结果保留π)3.如图，点D是等边三角形ABC的外接圆上一点，M是BD上一点，且满足DM＝DC，点E是AC与BD的交点．(1)求证：CM∥AD；(2)如果AD＝1，CM＝2.求线段BD的长及△BCE的面积．4.如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线交于点E，且∠A＝∠EBC.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG·BA＝48，FG＝2，DF＝2BF；求AH的值．5.如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D.(1)求证：△PAE∽△PEC；(2)求证：PE为⊙O的切线；(3)若∠B＝30°，AP＝12AC，求证：DO＝DP.6.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD,AC分别交于点E,F，且∠ACB＝∠DCE.(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan∠ACB＝22，BC＝2，求⊙O的半径．7.如图①，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如图②，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2－3，求⊙O的半径和BF的长．8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．9.如图，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB＝∠DCO＝90°，O为AB的中点．(1)求证：∠B＝∠ACD；(2)已知点E在AB上，且BC2＝AB·BE.(i)若tan∠ACD＝34，BC＝10，求CE的长；(ii)试判定CD与以A为圆心，AE为半径的⊙A的位置关系，并说明理由．参考答案1.(1)证明：由题意可得：∠BPC＝∠BAC，∠APC＝∠ABC， ∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．(2)解： ∠PAC＝90°，∴PC是圆的直径，∴∠PBC＝90°，∴∠PBD＝90°， △ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝23， ∠CPB＝60°，∴PB＝23tan60°＝2， ∠APC＝60°，∴∠DPB＝180°－60°－60°＝60°，∴PD＝2PB＝4.2.(1)证明： CA切⊙O于点A，∴∠CAO＝90°. OC平分∠AOD，∴∠AOC＝∠DOC，在△AOC和△DOC中，，∴△AOC≌△DOC(SAS)，∴∠CDO＝∠CAO＝90°， OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)解：由(1)知：OD⊥BC，又 D是BC的中点，∴OD是BC的垂直平分线，∴OC＝OB，∴∠BOD＝∠DOC＝∠COA＝13×180°＝60°，∴∠DOE＝60°，∴DE︵的长度为60180π×3＝π.3.(1)证明： △ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ADC＝120°， DM＝DC，∴△DMC是等边三角形，∴∠MCD＝60°，∴∠MCD＋∠ADC＝180°，∴CM∥AD.(2)解： BC＝AC，∠ADC＝∠BMC＝120°，∠CBM＝∠CAD，∴△ADC≌△BMC，∴AD＝MB＝1，∴BD＝BM＋MD＝AD＋CM＝1＋2＝3， CM∥AD，∴∠CAD＝∠ACM，∠ADE＝∠EMC，∴△ADE∽△CME，∴ADCM＝AEEC＝DEEM＝12，∴S△ADE＝14S△EMC， S△CMD＝12×3×2＝3，∴S△EMC＝23S△CMD＝233，S△EDC＝13S△CDM＝33，∴S△ADE＝14S△EMC＝36，∴S△ADC＝S△ADE＋S△DCE＝36＋33＝32，∴S△BCE＝S△BMC＋S△MCE＝S△ADC＋S△CME＝32＋233＝763.4.解：(1)连接DC， DB是⊙O的直径，∴∠DCB＝90°，∴∠D＋∠DBC＝90°， ∠D＝∠A，∠EBC＝∠A.∴∠D＝∠EBC，∴∠EBC＋∠DBC＝90°，即∠DBE＝90°，∴BE是⊙O的切线．(2) CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又 ∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴BCBG＝ABBC，即BC2＝BG·AB＝48，∴BC＝43， CG∥EB，∴CF⊥BD，∴∠CFB＝∠DCB＝90°，又 ∠CBF＝∠DBC，∴Rt△BFC∽Rt△BCD，∴BFBC＝BCBD，∴BC2＝BF·BD...
