1原式=C2+2)(x2(2)设原式分解为(’2+cx2)02+dx+1)，其中c、d为整数，去括号，得:十字相乘法分解二次三项式因式总结知识归纳对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式X2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项ax2+bx+c(a、b、c都是整数，且a丰0)来说，如果存在四个整数a，c，a，c1122满足aa=a，cc=c，并且ac+ac=b，那么二次三项式ax2+bx+c即12121221aax2+(ac+ac)x+cc可以分解为(ax+c)(ax+c)。这里要确定四个常数a,c,a,c，1212211211221122分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。1.在方程、不等式中的应用例1.已知：x2—11x+24>0，求x的取值范围。分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解:•/x2—11x+24>0(x—3)(x—8)>0(x—3>0(x—3<0'"Ix—8>0或｛x—8<0x>8或x<3例2.如果x4—x3+mx2—2mx—2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。分析：应当把x4分成x2-x2，而对于常数项-2,可能分解成(-l)x2，或者分解成(-2)x1，由此分为两种情况进行讨论。解：(1)设原式分解为C2+ax-JC+bx+2)，其中a、b为整数，去括号，得：x4+(a+b)x3+x2+(2a—b)x—2将它与原式的各项系数进行对比，得：a+b=—1，m=1，2a—b=—2m解得：a=—1，b=0，m=1此百度文库-让每个人平等地提升白我3百度文库-让每个人平等地提升白我32)x+yx-y-3又V8x2+10xy-3y2=（2x+3y）（4x-y）（2x+12x一21m）（4x一4x+7m）=7m（14x一21m）=49m（2x一3m）Vx,m是整数，・•・m（2x-3m）也是整数所以，8x2+10xy-3y2是49的倍数。中考点拨例1.（2000・湖北）把4x4y2-5x2y2—9y2分解因式的结果解：4x4y2-5x2y2-9y2=y2（4x4一5x2一9）=y2（4x2-9）（x2+1）=y2（x2+1、2x+3）（2x一3）说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底例2.（2000・甘肃）因式分解：6x2—7x—5=解：6x2—7x—5=（2x+1）（3x—5）说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误题型展示例1.若x2-y2+mx+5y-6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）A.1B.-1C.±1D.2解：x2—y2+mx+5y—6=（x+y）（x—y）+mx+5y—6-6可分解成（-2）x3或（-3）x2,因此，存在两种情况：由（1）可得：m=1，由（1）可得：m=-1故选择C。说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。百度文库-让每个人平等地提升白我4例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足(a-c)2=4(b-a)(c-b)。求证：a-b=b-c证明：•••(a-c)2=4(b-a)(c-b)(a-c)2-4(b-a)(c-b)=0a2—2ac+c2-4bc+4ac-4ab+4b2=0(a+“-4b(a+c)+4b2=0..(a+c—2b)2=0..a+c—2b=0a-b=b-c说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例3.若x3+5x2+7x+a有一因式x+1。求a,并将原式因式分解。解:x3+5x2+7x+a有一■因式x+1当x+1=0,即x=-1时，x3+5x2+7x+a=0/.a=3x3+5x2+7x+3=x3+x2+4x2+4x+3x+3=x2(x+1)+4x(x+1)+3(x+1)=(x+l)(x+l)(x+3)=(x+1)2(x+3)说明：由条件知，x=-1时多项式的值为零，代入求得a,再利用原式有一个因式是x+1,分解时尽量出现x+1，从而分解彻底。实战模拟1.分解因式：2+4x+3(1)a2b2+16ab+393)哪些是多项式百度文库-让每个人平等地提升白我52.在多项式x+1,x+2,x+3,x2+2x-3,x2+2x-1,x2+2x+32+2x2++9的百度文库-让每个人平等地提升白我74.71)2)次因式，百度文库-让每个人平等地提升白我试题答案解：原式=(ab)2+16ab+39=(ab+3)(ab+13)解：原式=Gxn—yn+1)5xn+4yn+1)解：原式=C2+3x一4)(x2+3x-18)=(x+4)(x-1)(x+6)(x-3)^解：*.*Cx2+2x)—1oCx2+2xl+9=12+2x》—91x2+2x》—J=C2+2x+3)。2+2x—3)。2+2x+1)02+2x—1)=C2+2x+3)fx+3)(x—1)(x+1)2C2+2x—1)其中x+1,x+3,x2+2x+3,x2+2x—1是多项式C2+2x>一loC2+2x1+9的因式。说明：先正确分解，再判断。解:设2x3-x2-13x+k=(2x+l)(x2+ax+b)则2x3一x2一13x+k=2x3+(2a+l)x2+(a+2b)x+b2a+1=—1.°.2a+2b=—13k=—6k=-6且2x3—x2—13x—6=(2x—1)C2—x—6)=(2x—1)(x—3)(x+2)说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。设3x2+5xy一2y2+x+9y一4=(3x-y+m)(x+2y+n)=3x2+5xy-2y2+(m+3n)x+(2m-n)y+mn1.2.3.百度文库-让每个人平等地提升白我9
