数列求和的常用方法1数列求和的常用方法第一类：公式法求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的.1、等差数列前n和公式：11122nnnaannSnad2、等比数列前n和公式：111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq自然数方幂和公式：3、11(1)2nnkSknn4、211(1)(21)6nnkSknnn5、3211[(1)]2nnkSknn【例】已知数列na满足*111,4,nnaaanN，求数列na的前n项和nS.【练习】已知321loglog3x，求23nxxxx的前n项和.第二类：分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.若数列nc的通项公式为nnncab，其中数列na，nb分别是等差数列和等比数列，求和时一般用分组结合法。【例】数列111111,2,3,4,,,248162nn求数列的前n项和.【练习】数列na的通项公式221nnan第三类：裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.常用的通项分解（裂项）如：（1）11111nannnn（1111nannkknnk）数列求和的常用方法2（5）1log1log1lognaaaannn【例1】数列1111,,,,,12123123n，求该数列的前n项和.【例2】已知等差数列na满足3575,22aaa.（1）求na；（2）令11nnnbaa，求数列nb的前n项和nS.【例3】数列1111,,,,,1324352nn，求该数列的前n项和.小结：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意究竟是像例1一样剩下首尾两项，还是像例3一样剩下四项.【例4】数列na的通项公式是11nann，若前n项和为10，则项数为（）A.11B.99C.120D.121【例5】数列na的通项公式是21log1nan，求该数列的前127项和.第三类：错位相减法求和这种方法主要用于求数列nnab的前n项和（112233nnnSabababab），其中na，nb分别是等差数列和等比数列.【例1】求数列na的前n项和nS.（2）2341234,,,,,22222nn【练习】求数列na的前n项和nS.（1）23412,32,52,72,,212nn（2）23424682,,,,,22222nn【例2】已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1qaan，设*)(log3241Nnabnn，数列nnnnbacc满足}{.求数列}{nc的前n项和Sn；第四类：合并求和法针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此在求数列的和时，数列求和的常用方法3可将这些项放在一起求和，然后再求nS.【例】求2222222212345699100的值.第五类：倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个1naa。【例】若函数fx对任意xR，都有12fxfx.（1）12101nnafffffnnn，数列na是等差数列吗？是证明你的结论；（2）数列11nnaa的前n项和nS.【例习】求22222sin1sin2sin3sin88sin89的值.第六类：利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.【例】求11111111111n个的和数列通项与求和的综合题1．已知各项均为正数的数列na中，11a，nS是数列na的前n项和，对任意Nn，有ppapaSnnn222，Rp．（1）求常数p的值；（2）求数列na的通项公式；（3）记nnnnSb234，求数列nb的前n项和nT．2．设数列na的前n项和为2nSn,nb为等比数列,且1112121,abbaab,(1)求数列na和nb的通项公式;(2)设nnnacb,求数列nc的前n项和nT.3．（2013广东文科）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足21441,,nnSannN且2514,,aaa构成等比数列．(1)证明：2145aa；数列求和的常用方法4(2)求数列na的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1223111112nnaaaaaa．4．已知等差数列na的公差0d，它的前n项和为nS，若570S，且2a，7a，22a成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设数列1nS的前n项和为nT，求证：1368nT≤．5.（2010·山东高考理科·Ｔ18）已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS．（1）求na及nS；（2）令nb211na(nN*)，求数列nb的前n项和nT．
