数学培优竞赛新方法九年级-第21讲-圆和圆VIP专享VIP免费

1/14第20讲圆与圆知识纵横圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下二种方法：1.通过两圆交点的个数确定；2.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定。为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、公切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线。例题求解【例1】如图，相距cm2的两点A、B在直线l上，它们分别以scmscm/1,/2的速度在l上同时向右平移，当点A、B分别平移到点1A、1B的位置时，半径为cm1的1A与半径为1BB的B相切，则点A平移到点1A所用的时间为__________s.（2011年嵊州市中考题）思路点拨两个动圆，1A移动圆心，B的半径大小改变，两动圆内切或外切，故应全面讨论。2/14【例2】如图，圆心为A、B、C的三圆彼此相切，且均与直线l相切。若CBA,,的半径分别为cba,,)0(bac，则cba,,一定满足的关系式为（）。（天津市竞赛题）cabA2.caB62.bacC111.bacD111.思路点拨从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径和分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线。【例3】如图①，在矩形ABCD中，cmBCcmAB4,20，点P从A开始沿折线DCBA一以scm/4的速度移动，点M从C开始沿CD边以scm/1的速度移动。如果点P、M分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为)(st。（1）t为何值时，四边形APMD为矩形？（2）如图②，MP,的半径都是cm2，那么t为何值时，MP,相外切？（南京市中考题）思路点拨对于（1），把相关线段用t的式子表示，利用图形性质建立方程；对于（2），解题的关键是分情况讨论。3/14【例4】已知1O与2O相交于BA,，且1O的半径为cm3，2O的半径为.5cm（1）过点B作ABCD分别交1O和2O于DC,两点，连接ACAD,，如图①，试求ADAC的值；（2）过点B任画一条直线分别交1O与2O于FE,，连接AE和AF，如图②，试求AFAE的值。（巴中市中考题）思路点拨对于（2），AFAE应与两圆半径相关，需构造相似三角形，利用图①或构造直径或联想相交两圆的性质。4/14【例5】如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆1O在OA上并与弧AB内切于点A，半圆2O的圆心在OB上，并与弧AB内切于B，半圆1O与半圆2O相切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y。（1）试建立以x为自变量的函数y的解析式；（2）求函数y的最小值。（太原市竞赛题）分析设两圆1O、2O半径分别为R、r，对于（1）)(2122rRy，通过变性把22rR用""rRx的代数式表示，作出辅助线；对于（2），因rRx，故是在约束条件下求y的最小值，解题的关键是求出rR的取值范围。5/14化繁为简【例6】如图，圆A、B的半径都为1，且相互外切。圆SRQP,,,的半径都为r,且圆P与圆A、B、Q、S都分别外切，圆Q与圆RBP,,都分别外切，圆R与圆RAP,,都分别外切，求r的值。（2011年青少年数学国际城市邀请赛试题）分析与解连接圆心、连接切点与圆心，关注由此生成的三角形。如图，连接SAPAPS,,，设A、B相切于T，则22222STPSPTATPA，即2222)2()(1)1(rrrr，解得2173r（负值已舍去）。TBAQRSP6/14学力训练基础夯实1、O的半径为cm3,点M是O外一点，,4cmOM则以M为圆心且与O相切的圆的半径是.cm（长春市中考题）2、如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1，则它们与墙的切点A、B间的距离为。（绍兴市中考题）3、如图，大圆O的半径OC是小圆1O的直径，且有OC垂直于圆O的直径AB，1o的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D，已知1o的半径为r，则1AO；DE。（杭州市中考题）7/144、如图①，4321,,,OOOO为四个等圆的圆心，DCBA,,,为切点，请你在图中画出一条线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，4321,,,OOOO5,O为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．（天津市中考题）5、如图，施工工地的水平面上，有三根外径都是m1的水泥管两两摞在一起，则其最高点到地面的距离是．2.A221.B231.C231.D6、如图，1O、2O外切于A点，半径分别为r3、r，P为21OO延长线上一点，作直线分别于1O、2O相切于D、E两点，则P的度数为（）。15.A30.B45.C60.D(武汉...