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函数yAsinx的图象及简单三角函数模型VIP免费

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3.6函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单三角函数模型的应用考点梳理1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时AT=①____f=②______=③______ωx+φφ2πω1Tω2π2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点.如下表所示.x-φωπ2-φωπ-φω3π2-φω2π-φωωx+φ_____________________________y=Asin(ωx+φ)0A0-A00π2π32π2π3.函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤法一法二|φ|1ωA1ω|φω|A考点自测1.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如下:那么ω=()A.1B.2C.12D.13解析:由图象可知,函数周期T=π,ω=2πT=2,故选B.答案:B2.要得到函数y=sin2x-π3的图象,只需将y=sin2x的图象()A.向右平移π6个单位B.向左平移π6个单位C.向右平移π3个单位D.向左平移π3个单位解析: y=sin2x-π3=sin2x-π6∴向右平移π6个单位.故选A.答案:A3.若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点,则|MN|的最大值为()A.1B.2C.3D.2解析:|MN|=|sinα-cosα|=|2sina-π4|,∴|MN|max=2,故选B.答案:B4.把函数y=sin2x+π4的图象向右平移π8个单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12,则所得图象的解析式为__________.解析:将y=sin2x+π4的图象向右平移π8个单位,得:y=sin2x-π8+π4,即y=sin2x的图象,再将y=sin2x的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,就得到函数y=sin4x的图象.答案:y=sin4x5.将函数y=sin(ωx+φ)π2<φ<π的图象,仅向右平移4π3.或仅向左平移2π3,所得到的函数图象均关于原点对称,则ω=__________.解析:注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半,即有T2=4π3--2π3=2π,T=4π,即2πω=4π,ω=12.答案:12疑点清源1.作图时应注意的两点(1)作函数的图象时,首先要确定函数的定义域.(2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象.2.图象变换的两种方法的区别由y=sinx的图象,利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时原图象沿x轴的伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位,而先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是|φ|ω个单位.为什么会有这个区别呢?其原因是,我们所说的平移多少(即平移量)是相对于x来说的,与x的系数ω无关,因而应写成y=Asinωx+φω+B的形式.故平移量为|φ|ω个单位.题型探究题型一作函数y=Asin(ωx+φ)的图象例1.已知函数y=2sin2x+π3,(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(3)说明y=2sin2x+π3的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.解析:(1)y=2sin2x+π3的振幅A=2,周期T=2π2=π,初相φ=π3.(2)令x′=2x+π3,则y=2sin2x+π3=2sinx′.列表:x-π6π12π37π125π6x′0π2π3π22πy=sinx′010-10y=2sin2x+π3020-20描点连线得函数图象:(3)把y=sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位,得到y=sinx+π3的图象,再把y=sinx+π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到y=sin2x+π3的图象,最后把y=sin2x+π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin2x+π3的图象.点评:①作三角函数图象的基本方法就是五点法,此法注意在作出一个周期上的简图后,...

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