2.1.1（一）2．1.1椭圆及其标准方程(一)【学习要求】1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.本讲栏目开关2.1.1（一）2.1.1（一）引言在生活中，我们对椭圆并不陌生.油罐汽车的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形的.在学习中，椭圆其实比圆更加让我们熟知，无论是数学中的0，还是字母中的O，我们都能看到椭圆的踪影.那么椭圆是怎样定义的呢？研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关2.1.1（一）探究点一椭圆的定义问题1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？答案固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键.结论平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c.若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|＋|MF2|＝2a.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关2.1.1（一）问题2命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关B2.1.1（一）探究点二椭圆的标准方程问题1观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.答案(1)建立直角坐标系xOy.(2)设M(x，y)是椭圆上任意一点，焦点坐标为F1(－c,0)、F2(c,0).(3)列式：x＋c2＋y2＋x－c2＋y2＝2a.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关(4)化简：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0).2.1.1（一）1.椭圆：平面内与两个定点F1，F2的的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的.2.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点a、b、c的关系距离的和等于常数(大于|F1F2|)焦点焦距x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)(－c,0)(c,0)(0，－c)(0，c)a2＝b2+c2填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关a2＝b2+c22.1.1（一）问题2建系时如果焦点在y轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？答焦点在y轴上，椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0).在椭圆的两种标准方程中，如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关2.1.1（一）例1(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点52，－32，求它的标准方程；解(1)方法一设标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0).2a＝52＋22＋－322＋52－22＋－322＝210，a＝10.又c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为x210＋y26＝1.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关2.1.1（一）例1(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点52，－32，求它的标准方程；研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关方法二设标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0).依题意得254a2＋94b2＝1a2－b2＝4，解得a2＝10b2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x210＋y26＝1.2.1.1（一）(2)方法一设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0). 椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴4a2＋0b2＝1，0a2＋1b2＝1，则a＝2，b＝1.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关例1(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.∴所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1；2.1.1（一）跟踪训练1(1)已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q(0,1)且与椭圆x29＋y24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程；解(1)椭圆的焦点在x轴上，设方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由x29＋y24＝1⇒c2＝5，即a2－b2＝5.①由b2＝1,解得a2＝6，，即所求的方程是x25＋5＋y25＝1.研一研·问题探究、课堂更高效本...
