导数的应用一VIP免费

2．2导数的应用(一)考点梳理1.函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：(1)如果___________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增．(2)如果___________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．(3)如果___________，那么f(x)在这个区间内为常数．f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＝02．函数的极值与导数(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧___________，右侧___________，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f′(x)＜0f′(x)＞0(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧___________，右侧_________，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．f′(x)＞0f′(x)＜0(3)求函数极值的步骤第一步，求导数f′(x)；第二步，求方程___________的根；第三步，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果___________，那么f(x)在这个根处取极大值；如果__________，那么f(x)在这个根处取极小值．f′(x)＝0左正右负左负右正考点自测1．函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数g(x)＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，则y＝f(x)图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：设g(x)＝f′(x)＝kx＋b(k＜0，b＞0)，则函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c， f(x)的图象过原点，∴c＝0，则f′(x)＝2ax＋b，由此可知a＜0，b＞0，故y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标x＝－b2a＞0，y＝4ac－b24a＝－b24a＞0，故y＝f(x)图象的顶点在第一象限．答案：A2．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时()A．f′(x)＞0，g′(x)＞0B．f′(x)＞0，g′(x)＜0C．f′(x)＜0，g′(x)＞0D．f′(x)＜0，g′(x)＜0解析：由题意知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．又 x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，∴x＞0时，f(x)，g(x)单调递增．∴x＜0时，f(x)，g(x)分别为单调递增，单调递减函数，∴x＜0时，f′(x)＞0，g′(x)＜0.答案：B3．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析：f′(x)＝(x＋1)ex，当x＜－1时，f′(x)＜0，当x＞－1时，f′(x)＞0，所以x＝－1为f(x)的极小值点．答案：D4．函数y＝3x2－2lnx的单调增区间为__________，单调减区间为__________．解析：y′＝6x－2x＝6x2－2x， 函数的定义域D为(0，＋∞)，∴由y′＞0，得x＞33，∴单调增区间为33，＋∞.由y′＜0得0＜x＜33，∴单调减区间为0，33.答案：33，＋∞0，335．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析：由题意知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2，由f′(x)＞0得x＜0或x＞2，由f′(x)＜0得0＜x＜2.∴f(x)在x＝2处取得极小值．答案：2疑点清源1.导数与函数单调性的关系(1)导函数f′(x)＞0(或＜0)是函数y＝f(x)递增(或递减)的充分不必要条件．如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0(只在x＝0处f′(x)＝0)．(2)f(x)单调递增⇔f′(x)≥0(只在有限个点处f′(x)＝0)．f(x)单调递减⇔f′(x)≤0(只在有限个点处f′(x)＝0)．2．可导函数的极值(1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或递减的函数没有极值．(3)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点，例如y＝|x|的极值点为x＝0，而y＝|x|在x＝0处不可导.题型探究题型一函数的单调性与导数例1.已知f(x)＝ex－...