导数的应用二VIP免费

2．3导数的应用(二)考点梳理一、函数的最值与导数1．函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条________不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的_______.(2)将函数y＝f(x)的各极值与_______的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．连续极值端点处二、利用导数研究生活中的优化问题1．生活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：考点自测1.下列命题中真命题是()A．函数的最大值一定是函数的极大值B．函数的极大值可能会小于这个函数的极小值C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数在这一区间上的最小值D．函数在开区间内不存在最大值和最小值解析：极值是局部问题，而最值是整体问题．答案：B2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去)．比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2，选C.答案：C3．函数f(x)＝x＋2cosx在0，π2上的最大值点为()A．0B.π6C.π3D.π2解析：f′(x)＝1－2sinx，f′(x)＝0在0，π2上仅有一解π6，又f(0)＝2，fπ6＝π6＋3，fπ2＝π2，比较可知fπ6为最大值．答案：B4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__________.解析：f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x＝±2.∴f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，则M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.答案：325．面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是__________．解析：设矩形的一边边长为x，则另一边边长为Sx，其周长为l＝2x＋2Sx，x＞0，l′＝2－2Sx2，令l′＝0，解得x＝S，易知，当x＝S时，其周长最小．答案：S疑点清源1.函数的最大值与最小值的理解最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值与最小的值，在求函数的最值时，要注意以下几点：(1)最值与极值的区别极值是指某一点附近函数值的比较．因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；而最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较，因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．(2)最值与极值的求法的区别在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导的函数f(x)，它的极值可以通过检查导数f′(x)在每一个零点两侧的符号来求得．而f(x)在[a，b]上的最大(小)值，则可以通过将各极值与端点的函数值加以比较来求得，其中最大(小)的一个即为最大(小)值．(3)当f(x)为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．2．生活中的优化问题利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间.题型探究题型一求已知函数的最值例1.求函数f(x)＝ln(1＋x)－14x2在[0,2]上的最大值和最小值．解析：f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化简为x2＋x－2＝0.解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.当0≤x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当1＜x≤2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；所以f(1)＝ln2－14为函数的极大值．又因为f(0)＝0，f(2)＝ln3－1＞0，f(1)＞f(2)．所以f(0)＝0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln2－14为函数f(x)在[0,2]上的最大值．点评：①求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判...