几何定值与极值问题的例题与练习VIP免费

几何定值和极值1.几何定值问题(1)定量问题：解决定量问题的关键在探求定值，一旦定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了。探求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法。(2)定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线可以看作斜率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题。2.几何极值问题：最常见的几何极值问题大体包括：有关线段的最大最小问题；三角形面积的最大最小问题；角的最大最小问题等。【例题分析】例1.已知ABC的两边的中点分别为M、N，P为MN上的任一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E，求证：ADDCAEEB为定值。AEDMNPBC分析：用运动法探求定值，先考虑特殊情况，令P在MN上向M运动，此时D点向A运动，P点运动到M时，D点将与A点重合，而AM＝MB，于是ADDCAEEBACAMMB0011，于是转入一般证明。证明：连结APAEEBSSSSSSSSAEEBSSADDCSSAECBECAEPBEPAECAEPBECBEPAPCBPCAPBBPC即同理：AEEBADDCSSSSSSSAPCBPCAPBBPCABCBPCBPCSBChSBChSSAEEBADDCSSABCBPCABCBPCBPCBPC12121221，例2.两圆相交于P、Q两点，过点P任作两直线AA'与BB'交一圆于A、B，交另一圆于A'、B'，AB与AB''交于点C，求证：C为定值。1QOO'AA'(B)P(')BCQA'BPAB'C分析：设两圆为⊙O、⊙O'，现从运动极端分析，因为直线AA'与BB'都是以P为固定点运动的。当AA'与BB'重合时，便成了左图的情况，而AC和AC'分别成了两圆的切线。且PQAABB'(')，QA、QA'分别为直径。容易求得CAQAQAPQAP180''12(')QOPQOP这就是所求的定值。证明：如右图，连结PQ、BQ、AQ'则有CPBAPBA''18012PQAPBAQAPQPAPBAQAPQBAPBAQAPQBPQOPQOP'''''(')为定值例3.在定角XOY的角平分线上，任取一点P，以P为圆心，任作一圆与OX相交，靠近O点的交点为A，与OY相交，远离O点的交点为B，则APB为定角。XMAPONBY(1)X(A)POY(2)分析：先探求定值，根据特殊化求定值，一般证明的原则，先看图(2)，如果以角平分线上任意一点P为圆心，以OP为半径作圆，此时，A点与O点重合，APBOPBPOBPBOXOYAPBXOY12180为定值证明：如图(1)，作PMOXMPNOYN于，于OPMOPNAASPMPNPAPBRtPMARtPNBPAMPBNOBPAAPBXOY()又，、、、四点共圆为定值180例4.已知E、F分别是四边形ABCD的AB、CD边上的中点2求证：EFADBC12()ADEFBCADEFGBC分析：本题即证EF的最大值为12()ADBC，因此可先考虑特殊情况，以找出等号成立的条件，再证一般情况。证明：(1)当四边形中AD//BC时，如左图EF是梯形ABCD的中位线EFADBC12()(2)当AD不平行BC时，如右图连结AC，取AC的中点G，再连结EG、FG在ACD中，GFAD12在ABC中，EGBC12EGGFADBC12()又在EFG中，EFFGGEEFADBC12()综合(1)(2)，得EFADBC12()【考点解析】例1.如图，AD是⊙O的直径，B是AD延长线上一点，BE切⊙O于点E，ACBE交BE延长线于点C，若EDDG⌒⌒，弦EG交AD于点F。求证：CEFG。BDG2E3O41CA证明：连结AE、ED3ADOAEDACBCBCOEEDDGADOEFADEFFG是⊙直径切⊙于点，是⊙直径，9034902314EFADECACECEFCEFG，，14点评：本题用到了垂径定理的推论，圆周角、弦切角、直径所对的圆周角、直角三角形两锐角互余，角平分线的性质等知识。例2.如图，在ABC中，ABC90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AC切于点D，与AB交于点E，若AD＝2，AE＝1，求tgADE的值和四边形BCDE的面积。CDF132AEOB分析：求tgADE的值，需要用转化的思想，因为ADE不是直角三角形，所以要转化到直角三角形中解决问题。因为ADEDBA，所以可以把问题转化到RtDBE中解决问题。求四边形可以用割补的方法，把四边形分割成RtDBE和等腰DCB两个三角形分别求解。解：连结BD，过D点作DFBC...