高考压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2015·陕西)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．2．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝2PB.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围．3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长．(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．4．(2015·苏州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(1，)，一个焦点为(，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝k(x－1)(k≠0)与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．答案精析高考压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)1．解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝，由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.(2)方法一由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝，从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝，由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.方法二由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②依题意，点A，B关于圆心M(－2,1)对称，且|AB|＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝＝，因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.2．解(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立即则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，由根与系数的关系知又AP＝2PB，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)．∴－x1＝2x2，∴∴＝－22，整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时不成立，∴k2＝>0，得0.∴m的取值范围为∪.3．解(1)由已知得b＝4，且＝，即＝，∴＝，解得a2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知BF＝2FQ，又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2，即得Q的坐标为(3，－2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且＋＝1，＋＝1，以上两式相减得＋＝0，∴kMN＝＝－·＝－×＝，故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.4．解(1)由题意得解得a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程是＋y2＝1.(2)由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝.所以线段AB的中点坐标为(，)，y－＝－(x－)．若y＝0，则x＝.于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q(，0)，又点P(1,0)，所以|PQ|＝|1－|＝.又|AB|＝＝.于是，＝＝4＝4.因为k≠0，所以1<3－<3，所以的取值范围为(4,4)．高考压轴大题突破练
