平面向量的数量积一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为()A．－2B．2C．－D．不存在解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，∴a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)． (a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，解之得m＝－2.故应选A.答案：A2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有()A．a⊥bB．a∥bC．|a|＝|b|D．|a|≠|b|解析：f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数．而(xa＋b)·(a－xb)＝x|a|2－x2a·b＋a·b－x|b|2，故a·b＝0，又 a，b为非零向量，∴a⊥b，故应选A.答案：A3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的范围是()A．(1，＋∞)B．(－1,1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，1)解析： a与a＋2b同向，∴可设a＋2b＝λa(λ>0)，则有b＝a，又 |a|＝＝，∴a·b＝·|a|2＝×2＝λ－1>－1，∴a·b的范围是(－1，＋∞)，故应选C.答案：C4．已知△ABC中，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于()A．30°B．－150°C．150°D．30°或150°解析： S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝，∴sin∠BAC＝，又a·b<0，∴∠BAC为钝角，1∴∠BAC＝150°.答案：C5．(2010·辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设则△OAB的面积等于()A.B.C.D.解析：cos〈a，b〉＝，sin∠AOB＝＝，所以S△OAB＝|a||b|sin∠AOB＝.答案：C6．(2010·湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则等于()A．－16B．－8C．8D．16解析：解法一：因为cosA＝，故cosA＝AC2＝16，故选D.解法二：在上的投影为||cosA＝||，故cosA＝AC2＝16，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(2010·江西)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.答案：18．(2010·浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝＝＝.答案：9．已知|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.解析：由λb－a与a垂直，(λb－a)·a＝λa·b－a2＝0，所以λ＝2.答案：210．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则)的最小值是________．解析：令||＝x且0≤x≤2，则||＝2－x.＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.∴的最小值为－2.2答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．解：由|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，则a·b＝|a||b|cos45°＝×1×＝1.而(2a＋λb)·(λa－3b)＝2λa2－6a·b＋λ2a·b－3λb2＝λ2＋λ－6.设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ，则cosθ＝>0，且cosθ≠1，∴(2a＋λb)·(λa－3b)>0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cosθ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，∴解得k2＝－.故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．评析：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝去判断θ分五种情况：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且cosθ≠－1，θ为钝角；cosθ>0且cosθ≠1，θ为锐角．12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝.(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－＝0，故a＋b与a－b垂直．(2)由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0，而|a|＝|b|，所以a...
