专题四一次分式函数在解题中的应用一、问题的提出【2016高考北京】函数的最大值为_________.在近几年的高考试卷及模拟试卷中经常会出现以分式函数为载体的试题,特别是分子和分母中的代数式都是一次函数的一次分式函数,对其图象与性质的研究常涉及到平移变换及对称变换,是考查能力的好载体,所以一直被高考命题者看好,在近几年的高考中再现率很高.但由于这一类函数问题现行高中教材中未作专门介绍,致使相当一部分学生碰到这一类问题不知道从哪里入手,为帮助同学们掌握这一内容,.本文从平移理论的角度出发,总结出一次分式函数的性质,并通过实例说明其结论在解题中的应用.二、问题的探源本题解法：，即最大值为2.【点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．首先我们给出分式函数及一次分式函数的定义：当、为既约整式且的次数不低于一次时,我们把形如的函数叫做分式函数,当、的次数不高于一次时,这样的分式函数叫做一次分式函数,即形如的函数．我们先来看一个简单的一次分式函数y=.由于y==1+,所以把y=的图象向右平移一个单位可得到y=,因此根据y=的图象与性质可总结出y=的图象与性质.下面我们利用平移理论及反比例函数的图象与性质来研究一次分式函数的图象与性质：首先利用分离常数法可得==+,设=m,则f（x）=+,所以y=f（x）的图象可由反比例函数y=的图象经过平移得到,由反比例函数的图象可知的图象也是双曲线,其性质如下：⒈的定义域是（-∞,）∪（,+∞）；⒉的值域是（-∞,）∪（,+∞）；⒊的图象即关于点（,）对称,又关于直线y-=±（x+）对称；⒋当m>0时,在（-∞,）上及（,+∞）上都是增函数,且x∈（-∞,）时f（x）∈（-∞,）；x∈（,+∞时f（x）∈（,+∞）当m<0时,在（-∞,）上及（,+∞）上都是减函数,且x∈（-∞,）时f（x）∈（,+∞）；x∈（,+∞时f（x）∈（-∞,）.三、问题的佐证【例1】若在（-1,+∞）上满足对任意的x1f（x2）,求a的取值范围.【解析】=2+,由题意知f（x）在（-1,+∞）上是增函数,由性质⒋可得-a≤-1且3-2a>0,所以1≤a<.【例2】已知的图象的对称中心为(3,-1,,),求a,b的值.【解析】由性质知f(x)的的图象的对称中心为(a+1,-b),因此a+1=3,-b=-1,所以a=2,b=1.【例3】【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（）（A）0（B）（C）（D）【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C.【点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.这类问题源于课本,又高于课本,能较好的函数学生分析问题及解决问题的能力,因此备受命题这的青睐.【例4】已知（n∈）,求的最大值及最小值的n值.【例5】【2014高考陕西版文第14题】已知，若，则的表达式为________.【答案】【解析】，，，，，即，当且仅当时取等号，当时，；当时，，，即，数列是以为首项，以1为公差的等差数列，当时，，，【点晴】本题主要考查的是数列的通项公式；数列与函数之间的关系，属于难题．解题时要紧紧抓住已知条件，得到，这是解题的关键，而后得到数列是以为首项，以1为公差的等差数列，进而，则问题可解，解题要有敏锐的观察力和严密的推理能力.四、问题的解决1．函数=在区间上单调递增,则实数的取值范围是（）A．（0,）B．（,＋∞）C．D．【答案】B【解析】,函数在区间上单调递增2．已知函数,若,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 ,∴函数在上单调递增. ,∴,解得,故选项为A.【评注】本题主要考查了初等函数的单调性以及利用单调性解抽象函数的不等式的能力,注重对基础的考查,难度一般；当时,对于形如这种形式的抽象函数不等式主要利用函数的单调性来解,熟练掌握初等函数和为单调递增函数是解决问题的关键,将其转化为.3．已知函数①；②；③(),其中随的增大而减小的函数有（）A．1个B．2个...
