指数函数和对数函数·指数函数·例题[]解A例2f(x)=3x+5，则f-1(x)的定义域是[]A．(0，+∞)B．(5，+∞)C．(6，+∞)D．(-∞，+∞)解B因为f(x)=x2+5＞5，即f(x)的值域为(5，+∞)，故f-1(x)的定义域为(5，+∞)．例3下列函数中，值域是(0，+∞)的一个函数是[]解B例4函数y=(a2-1)x在(-∞，+∞)上是减函数，则a的取值范围是[]例5已知a＞b，ab≠0．审查下列不等式．其中恒成立的有[]A．1个B．2个C．3个D．4个解C解(0，1)例7使函数yx2-x-12递减的x的取值范围是______．例8根据不等式确定正数a的取值范围：(1)a-0.3＜a0.2，则a∈______；(2)a7.5＜a3.9，a∈______；解(1)(1，+∞)(2)(0，1)(3)(0，1)(1)指出函数的奇偶数，并予以证明；(2)求证：对任何x(x∈R且x≠0)，都有f(x)＞0．所以f(x)是偶函数．(2)当x＞0时，2x＞1，所以f(x)＞0．当x＜0时，由f(x)为偶函数，有f(x)=f(-x)＞0．所以对一切x∈R，x≠0，恒有f(x)＞0．注利用函数的奇偶性常可使解法简化．如本例(2)，当x＜0时，证明f(x)＞0较繁．若注意到f(x)为偶函数，则只须证明，当x＞0时f(x)＞0，而这是显然的．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)是区间(-∞，+∞)上的增函数；(3)求函数的值域．解(1)f(x)的定义域为R．又所以f(x)为奇函数．在R上为增函数．[]A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．c＜b＜a解C[]例14对数式loga(x+1)，logax2，loga(-x)，loga(1-|x|)中的x的[]例15如果f(lgx)=x，则f(3)的值等于[]A．log3B．log310C．l03D．310解C令lgx=3，则x=103．例16若log2x=log3y=log5z＞0，则[]解B令log2x=log3y=log5z=k，有x=2k，y=3k，z=5k．于是例17已知ab=M(a＞0，b＞0，M≠1)且logMb=x，则logMa的值为[]解A因为ab=M，所以logMab=logMM=1，即logMa+logMb=1．但logMb=x，所以logMa=1-x．例18计算：(1)25log53=______例20设M={0，1}，N={11-a，log10a，2a，a}，是否存在事实上，若lga=1，则a=10．此时11-a=1，从而11-a=lga=1，此与集合元素互异性矛盾．若2a=1，则a=0．此时lga无意义．1，则a=10，从而lga=1，与集合元素互异性矛盾．例22化简：例23设a，b同号，且a2-2ab-9b2=0，求lg(a2+ab-6b2)-lg(a2+4ab+15b2)的值．[]解A[]A．RB．(-∞，-3]C．[8，+∞)D．[3，+∞)解B例26若f(x)=loga|x+1|在(-1，0)内f(x)＞0，则f(x)[]A．在(-∞，0)内单调递增B．在(-∞，0)内单调递减C．在(-∞，-1)内单调递减D．在(-∞，-1)内单调递增解D依题设，f(x)的图象关于直线x=-1对称，且0＜a＜1．画出图象(略)即知D正确．例27已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)=x2+lg(x+1)，那么当x＜0时，f(x)的解析式是[]A．-x2-lg(1-x)B．x2+lg(1-x)C．x2-lg(1-x)D．-x2+lg(1-x)解A设x＜0，则-x＞0，所以f(-x)=(-x)2+lg(-x+1)=x2+lg(1-x)=-f(x)f(x)=-x2-lg(1-x)例28函数y=5x+1的反函数是[]A．y=log5(x+1)B．y=logx5+1C．y=log5(x-1)D．y=log(x-1)5解C解(1)奇函数．∴f(x)为奇函数(2)3.373因为ψ(x)=x2+f(x)，又由(1)知，f(x)为奇函数，所以f(-2)=-f(2)．所以ψ(-2)=(-2)2+f(-2)=2×22-(22+f(2))=8-ψ(2)=8-4.627=3.373例31若1＜x＜2，则(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小关系是______log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2(1)判断f(x)的奇偶性；(2)已知f(x)存在反函数f-1(x)，若f-1(x)＜0，求x的取值范围．另一方面，有所以f(x)是奇函数．故当a＞1时，x＜0；当0＜a＜1时，x＞0．例33已知常数a，b满足a＞1＞b＞0，若f(x)=lg(ax-bx)，(1)求y=f(x)的定义域；(2)证明y=f(x)在其定义域内是增函数；(3)若f(x)恰在(1，+∞)上恒取正值，且f(2)=lg2，求a，b的值．(2)任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1＜x2．因为a＞1，所以g1(x)=ax是增函数，所以ax1-ax2＜0．故f(x)=lg(ax-bx)在(0，+∞)内是增函数．(3)因为f(x)在(1，+∞)内为增函数，所以对于x∈(1，+∞)内每一个x值都有f(x)＞f(1)．要使f(x)恰在(1，+∞)上恒取正值，即f(x)＞0只须f(1)=0．于是f(1)=lg(a-b)=0，得a-b=1．又f(2)=lg2，所以lg(a2-b2)=lg2，所以a2-b2=2，即(a+b)(a-b)=2．而a-b=1，所以a+b=2．例34设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小．解作差比较．因为0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，1＜1+x＜2...
