高考压轴大题突破练(三)函数(1)1．已知函数f(x)＝1－2a－2ax＋2x2(－1≤x≤1)的最小值为f(a)．(1)求f(a)的表达式；(2)若a∈[－2,0]，求f(a)的值域．2．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．3．某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入(x2＋x)万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？4．设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足条件：①f(x)＝f(－x－2)；②函数f(x)的图象与直线y＝x相切．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若不等式πf(x)>()2－tx在|t|≤2时恒成立，求实数x的取值范围．5．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．答案精析(三)函数(1)1．解(1)函数f(x)＝1－2a－2ax＋2x2＝2(x－)2－－2a＋1，其图象的对称轴为直线x＝.①当<－1，即a<－2时，f(x)的最小值为f(－1)＝3；②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，f(x)的最小值为f()＝－－2a＋1；③当>1，即a>2时，f(x)的最小值为f(1)＝3－4a.综上所述，f(a)＝(2)当a∈[－2,0]时，f(a)＝－－2a＋1＝－(a＋2)2＋3，其图象的对称轴为直线a＝－2，∴f(a)在[－2,0]上单调递减．∴f(a)max＝f(－2)＝3，f(a)min＝f(0)＝1.∴f(a)∈[1,3]．2．解(1)∵f(x)在定义域R上是奇函数，∴f(0)＝0，即＝0，∴b＝1.(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.设x10.又∵(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f(x)是奇函数，∴不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，∵f(x)为减函数，由上式推得t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R,3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－.3．解(1)设商品的销售价格提高a元，则(10－a)(5＋a)≥50，即0≤a≤5，所以商品的价格最多可以提高5元．(2)由题意知改革后的销售收入为mx万元，若改革后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需要满足mx＝(x2＋x)＋＋50(x>5)，即m＝x＋＋≥2＋＝，当且仅当x＝10时等号成立，故销售量至少应达到万件时，才能使改革后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．4．解(1)由①可知，二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的图象的对称轴方程是x＝－1，∴b＝2a.又∵函数f(x)的图象与直线y＝x相切，∴方程组有且只有一解，即方程ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实根，∴b＝1，a＝，∴函数f(x)的解析式是f(x)＝x2＋x.(2)∵π>1，∴πf(x)>()2－tx等价于f(x)>tx－2，即不等式x2＋x>tx－2在|t|≤2时恒成立．问题等价于一次函数g(t)＝xt－(x2＋x＋2)<0在|t|≤2时恒成立，∴即解得x<－3－或x>－3＋，故所求实数x的取值范围是(－∞，－3－)∪(－3＋，＋∞)．5．解(1)设x1
