江西省新建二中学年度高三数学综合测试卷(理科)一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)1.下列各图是正方体或三棱锥,、、、分别是所在棱的中点,这四个点不公面的一个图是（D）2.如图所示,、、在平面内,,,且,,.若,,在线段上(均异于),则是(C).A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上,底面所在的小圆面积为,则该三棱锥高的最大值为(C).A.B.C.D.4.当太阳斜照或直照时,放在水平地面上的长方体箱子,在地面上影子的形状是(B)A.四边形或五边形B.四边形或六边形C.五边形或六边形D.四边形或五边形或六边形5.正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为(A).A.B.C.D.6.菱形中,,,现将其沿对角线折成直二面角,则异面直线与所成角的余弦值为（C）A.B.C.D.7.如图,垂直正方形所在的平面,,动点在线段上,则二面角用心爱心专心116号编辑····SPQR····SPQR·S·P·Q·R·S·P·Q·RA.B.C.D.ABCDPE第题图第题图SBCA的取值范围是(A)A.B.C.D.8.如图,正三棱锥中,侧面与底面所成的二面角等于,动点在侧面内,底面,垂足为,,则动点的轨迹为(D).A.线段B.圆C.一段圆弧D.一段抛物线9.二面角的平面角为,直线平面,直线平面,则直线与所成角的范围为(C).A.B.C.D.10.已知三棱锥的底面是正三角形,点在侧面上的射影是的垂心,,则此三棱锥体积最大值是(D).A.B.C.D.11.在正三棱锥中,分别是的中点,,若,则该三棱锥的全面积为(B).A.B.C.D.12.已知二面角的平面角为,为垂足,且,设到二面角的棱的距离分别为,当变化时,点的轨迹是下列图形中的(D).二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)13.将正方形沿对角线折成直二面角,给出下列四个结论：①；②用心爱心专心116号编辑xyOxyOxyOA.B.C.xyOD.所成角为；③为等边三角形；④与平面所成角为.其中真命题是.(填命题序号)①②③.14.若中两直角边为、,斜边上的高为,则,如图,在正方体的一角上截取三棱锥,为棱锥的高,记,,那么、的大小关系是.解答：如图，连交于点, 面,底,∴面,即, 为RtΔ,故由已知得,故.15.若三角形内切圆半径为,三边长为,,,则三角形的面积,根据类比思想,若四面体内切球半径为,四个面的面积为,则四面体的体积.16.两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体,可放于棱长为的正方体中,重合的底面与正方体的某一个面平行,各顶点均在正方体的表面上,把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”,若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心,则此正子体的体积为.解：因为正子体的各个顶点是正方体各面的中心,∴.正四棱锥的底面积,高．正子体体积.三.解答题(本大题4小题,共44分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,,,,,又平面,且,点在棱上,且.用心爱心专心116号编辑ABEDFCABEDFC······EDCBAP⑴求异面直线与所成的角的大小；⑵求证：平面；⑶求二面角的大小.解答：⑴取BC中点F，连结AF，则CF＝AD，且CF∥AD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥CD，∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA与CD所成的角． PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BA，PB⊥BF． PB＝AB＝BF＝1，∴AB⊥BC，∴PA＝PF＝AF＝．∴△PAF是正三角形，∠PAF＝60°即异面直线PA与CD所成的角等于60°．⑵在Rt△PBD中，PB＝1，BD＝，∴PD＝ DE＝2PE，∴PE＝\f(\r(3)则，∴△PBE∽△PDB，∴BE⊥PD．由（１）知，CF＝BF＝DF，∴∠CDB＝90°.∴CD⊥BD．又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD． PB∩BD＝B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE． CD∩PD＝D，∴BE⊥平面PCD．⑶连结AF，交BD于点O，则AO⊥BD． PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD．过点O作OH⊥PD于点H，连结AH，则AH⊥PD．∴∠AHO为二面角A－PD－B的平面角．在Rt△ABD中，AO＝\f(\r(2)．在Rt△PAD中，AH＝．在Rt△AOH中，sin∠AHO＝．∴∠AHO＝60°．即二面角A－PD－B的大小为60°．18.如图,分别是正四棱柱底面中心,是的中点,.⑴求证：平面；⑵当时,求直线与平面所成角的大小；⑶当取何值时,在平面内的射影恰好为的重心？解答：⑴过P作MN∥B1C1，分别交A1B1、D1C1于M...
