(一)立体几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．给出下列命题：(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；(2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；(3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；(4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．其中真命题的序号为__________．【解析】(1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行，所以(1)正确．(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行．综上：(1)(2)为真命题．【答案】(1)(2)2．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】若有AC⊥BD，则A1C1⊥B1D1.又 CC1⊥B1D1，A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C，故条件可填AC⊥BD.【答案】AC⊥BD(答案不唯一)3．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各个面引垂线，垂线段分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为________．【解析】设四面体的高为h，则h＝＝，Sh＝S(d1＋d2＋d3＋d4)，∴d1＋d2＋d3＋d4＝h＝.【答案】4．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为__________．【解析】设圆锥的体积为x，则＝3，解得x＝54.【答案】545．已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________.【解析】V四棱锥O－ABCD＝××h＝，得h＝，∴OA2＝h2＋2＝＋＝6.∴S球＝4πOA2＝24π.【答案】24π6．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的________条件．【解析】 m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥mD⇒/l∥α， l⊥m时，l可能在α内．故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．【答案】必要不充分7．如图1所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．图1【解析】 B1C1⊥平面A1ABB1，MN⊂平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角．∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝B1.∴MN⊥平面MB1C1.又MC1⊂平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.【答案】90°8．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________．①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；③若l⊥α，l∥β，则α∥β；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.【解析】对于①，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；对于②，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；对于③，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；对于④，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误．故选②.【答案】②9．如图2，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6cm，梯形EFGH的面积为28cm2，则平行线EH，FG间的距离为__________cm.图2【解析】由题知，EH＝BD＝3cm，FG＝BD＝4cm.设平行线EH，FG之间距离为d，则×(3＋4)×d＝28，解得d＝8cm.【答案】810．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的位置关系为________．【解析】易知CD⊥AE，AE⊥PD，则AE⊥平面PCD，所以AE⊥PC.【答案】垂直11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是________．①点H是△A1BD的垂心；②AH⊥平面CB1D1；③AH的延长线经过点C1；④直线AH和BB1所成的角为45°.【解析】因为AH⊥平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥...
