四川省木里县中学高三数学总复习数列求和新人教A版一、主要知识1．公式法：直接用等差、等比数列和常见数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：（2）等比数列的求和公式（公比含字母时一定要讨论）（3）常用的公式：2．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）4．错位相减法：比如5．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：6．合并求和法：如求的和。8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等二、具体方法1.公式法：例1、已知，求的前n项和.解：由1由等比数列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－练一练：等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____；2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例1、求和：解：（1）当时，（2）当例2、求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝练一练：求和：3.倒序相加法：例1、求证：思路分析：由可用倒序相加法求和。2证：令则等式成立例2、求的值解：设………….①将①式右边反序得…………..②（反序）又因为①+②得（反序相加）＝89∴S＝44.5练一练：已知，则＝______；4.错位相减法：例1．已知数列，求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。解：当当例2、求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积3设……………………….②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴例3、求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………………………①………………………………②（设制错位）①－②得（错位相减）∴练一练：设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.；5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①；②；③，；④；⑤；⑥.例1、求和4思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解:例2、求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）＝＝例3、在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解：∵∴（裂项）∴数列{bn}的前n项和（裂项求和）＝＝练一练：（1）求和：；（2）在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____；6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例1、求之和.解：由于（找通项及特征）∴＝（分组求和）5＝＝＝练一练：①求数列1×4，2×5，3×6，…，，…前项和=；②求和：；7．其它求和方法：还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5、已知数列。思路分析：，通过分组，对n分奇偶讨论求和。解：，若练一练：已知成等差数列，n为正偶数，又，试比较与3的大小。6
