(四)数列1．(2016·课标全国乙)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．解(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.2．(2016·天津)已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．(1)设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；(2)设a1＝d，Tn＝∑(－1)kb，n∈N*，求证：∑<.证明(1)由题意得b＝anan＋1，cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1.因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以{cn}是等差数列．(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)＝2d·＝2d2n(n＋1)．所以∑＝∑＝∑＝·<.3．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.解(1)∵S＝an，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴S＝(Sn－Sn－1)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①由题意得Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.(2)∵bn＝＝＝，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝＝.4．已知数列{an}，{bn}满足2Sn＝(an＋2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和.(1)若数列{an}是首项为，公比为－的等比数列，求数列{bn}的通项公式；(2)若bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式；(3)在(2)的条件下，设cn＝，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．(1)解因为an＝(－)n－1＝－2(－)n，Sn＝＝[1－(－)n]，所以bn＝＝＝.(2)解若bn＝n，则2Sn＝nan＋2n，所以2Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋2(n＋1)，两式相减得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋2，即nan＝(n－1)an＋1＋2，当n≥2时，(n－1)an－1＝(n－2)an＋2，两式相减得(n－1)an－1＋(n－1)an＋1＝2(n－1)an，即an－1＋an＋1＝2an，又由2S1＝a1＋2,2S2＝2a2＋4，得a1＝2，a2＝3，所以数列{an}是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列，故数列{an}的通项公式是an＝n＋1.(3)证明由(2)得cn＝，对于给定的n∈N*，若存在k，t≠n，且t，k∈N*，使得cn＝ck·ct，只需＝·，即1＋＝(1＋)·(1＋)，即＝＋＋，则t＝，则k＝n＋1，则t＝n(n＋2)，∴对数列{cn}中的任意一项cn＝，都存在cn＋1＝和＝使得5．已知各项均为正数的数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N*)．(1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；(2)若λ＝，求Sn.解(1)令n＝1，得a2＝.令n＝2，得a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3，所以a3＝.由a＝a1a3，得()2＝，因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝时，anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝anan＋1，所以－＋－＝，即－＝，所以数列是以2为首项，公差为的等差数列，所以＝2＋(n－1)·，即Sn＋1＝(＋)an，①当n≥2时，Sn－1＋1＝(＋1)an－1，②①②得，an＝an－an－1，即(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以＝(n≥2)，所以是首项为的常数列，所以an＝(n＋2)．代入①得Sn＝(＋)an－1＝.
