6.1垂直关系的判定A组1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC1垂直的平面是()A.平面DD1C1CB.平面A1B1CDC.平面A1B1C1D1D.平面A1DB解析:因为易证BC1⊥B1C,且CD⊥平面BCC1B1,所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD=C,所以BC1⊥平面A1B1CD.答案:B2.下列结论正确的是()A.若直线a∥平面α,直线b⊥a,b⫋平面β,则α⊥βB.若直线a⊥直线b,a⊥平面α,b⊥平面β,则α⊥βC.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直解析:A选项中满足条件的平面β与平面α可能垂直,也可能平行或相交,故A错;C选项中当平面外的直线与平面垂直时,过该直线有无数个平面与已知平面垂直,故C错;过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直,故D错.答案:B3.导学号62180044如图所示,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论中错误的个数是()①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:因为BD∥B1D1,所以①正确;因为BD⊥AC,BD⊥CC1,所以BD⊥平面ACC1,所以BD⊥AC1,故②正确;因为AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,故①②③全正确.答案:A4.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是()A.B.2C.3D.4解析:如图所示,作PD⊥BC于点D,连接AD.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,PD∩PA=P,所以CB⊥平面PAD,所以AD⊥BC.因为AB=AC,所以CD=BD=3.在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4,在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,所以PD==4,故选D.答案:D5.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC解析:如图所示, BC∥DF,∴BC∥平面PDF,故A正确.由题设知BC⊥PE,BC⊥AE,∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE,故B正确. BC⊥平面PAE,∴平面ABC⊥平面PAE,故D正确.答案:C6.若直线l⊥平面α,直线m∥l,则m与α的位置关系是.答案:m⊥α7.已知A是△BCD所在平面外一点,则△ABC,△ABD,△ACD,△BCD中,直角三角形最多有个.解析:当三棱锥底面及三个侧面同时为直角三角形时,如图,此时直角三角形最多为4个.答案:48.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么给出下面四个结论:①AH⊥平面EFH;②AG⊥平面EFH;③HF⊥平面AEF;④HG⊥平面AEF.其中正确命题的序号是.解析:在这个空间图形中,AH⊥HF,AH⊥HE,HF∩HE=H,所以AH⊥平面EFH.答案:①9.在空间四边形ABCD中,若AB=AC,DB=DC,求证:BC⊥AD.证明:取BC的中点M,连接AM,MD. AB=AC,DB=DC,∴AM⊥BC,DM⊥BC.又AM∩MD=M,∴BC⊥平面AMD. AD⫋平面AMD,∴BC⊥AD.10.导学号62180045如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,DD1=2,点P为DD1的中点.求证:(1)平面PAC⊥平面BDD1;(2)直线PB1⊥平面PAC.证明:(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,所以底面ABCD是正方形,则AC⊥BD.又DD1⊥平面ABCD,所以DD1⊥AC.因为BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1.因为AC⫋平面PAC,所以平面PAC⊥平面BDD1.(2)连接B1C,由题知PC2=2,P=3,B1C2=5,所以△PB1C是直角三角形,所以PB1⊥PC.同理可得PB1⊥PA.因为PC∩PA=P,所以直线PB1⊥平面PAC.B组1.如图所示,BC是Rt△ABC的斜边,过A作△ABC所在平面α的垂线AP,连接PB,PC,过A作AD⊥BC于点D,连接PD,那么图中直角三角形的个数是()A.4B.6C.7D.8解析:容易证得PA⊥BC,又AD⊥BC,PA∩AD=A,所以BC⊥平面PAD,从而图中:△ABC,△PAB,△PAC,△PAD,△ABD,△ACD,△PBD,△PCD均为直角三角形.共有8个.答案:D2.导学号62180046如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1内运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P在()A.线段B1C上B.线段BC1上C.BB1中点与CC1中点的连线上D.B1C1中点与BC中点的连线上解析:易知BD1⊥平面AB1C,故P∈B1C.答案:A3.如图所示,已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,则图中所有互相垂直的平面共有()A.8对B.7对C.6对D.5对解析:由PA⊥平面ABCD可得平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAC⊥平面ABCD.又ABCD为正方形,CD⊥AD,因为PA⊥CD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以平面PCD⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PAD.同理可得,平面PBC⊥平面PAB,平面PAC⊥平面PBD.共7对.答案:B4.已...
