课后提升作业二十三平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·安阳高一检测)已知O(0,0),A(2,0),B(3,1),则(-)·=()A.4B.2C.-2D.-4【解析】选A.由已知得=(2,0),=(3,1),-=(1,1),则(-)·=(1,1)·(3,1)=3+1=4.2.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),a⊥b,则|a+b|=()A.B.C.2D.10【解析】选B.a⊥b⇒a·b=0⇒x=2,|a+b|=|(2,1)+(1,-2)|==.【补偿训练】(2016·孝感高一检测)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,b∥c,则|a+b|=()A.B.2C.D.10【解析】选C.由a⊥c得a·c=0.即2x-4=0.解得x=2,由b∥c得2y=-4.解得y=-2,则a+b=(3,-1),所以|a+b|=.3.平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则·等于()A.-4B.-2C.2D.4【解题指南】解答本题一方面要注意=,另一方面要利用向量减法的几何意义求,的坐标.【解析】选D.因为四边形ABCD是平行四边形,所以==-=(2,2)-(1,0)=(1,2),=-=(1,2)-(1,0)=(0,2),所以·=1×0+2×2=4.4.(2015·全国卷Ⅱ)已知a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.由题意可得a2=2,a·b=-3,所以(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.5.(2016·全国卷Ⅲ)已知向量=,=,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】选A.因为·=×+×=,==1,所以cos∠ABC==,即∠ABC=30°.6.(2016·郑州高一检测)已知C为△ABC的一个内角,向量m=(2cosC-1,-2),n=(cosC,cosC+1).若m⊥n,则∠C等于()A.B.C.D.【解析】选C.因为m⊥n,所以2cos2C-3cosC-2=0,所以(2cosC+1)(cosC-2)=0,所以cosC=-,又C为△ABC的一个内角,所以C=.7.已知|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为()A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直【解析】选B.因为·=|a|2-|b|2=9-×16=0,所以a+b与a-b垂直.8.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ等于()A.-4B.-3C.-2D.-1【解析】选B.因为m=(λ+1,1),n=(λ+2,2).所以m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1).因为(m+n)⊥(m-n),所以(m+n)·(m-n)=0,所以-(2λ+3)-3=0,解得λ=-3.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·徐州高一检测)设向量a与b的夹角为θ,a=(2,1),3b+a=(5,4),则cosθ=.【解析】设b=(x,y),则由a=(2,1),3b+a=(5,4)可得(3x+2,3y+1)=(5,4),即⇒所以b=(1,1),故a·b=2×1+1×1=3且|a|==,|b|==,所以cosθ===.答案:【补偿训练】若a=,|b|=2,若a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为.【解析】设a与b的夹角为θ,因为a=,所以|a|=1,又|b|=2,所以a·(b-a)=a·b-a2=|a|·|b|·cosθ-|a|2=2,所以1×2cosθ-1=2,所以cosθ=,又θ∈[0,π],所以θ=.答案:10.(2016·威海高一检测)已知a=(2,1),b=(m,6),向量a与向量b的夹角θ是锐角,则实数m的取值范围是.【解析】因为向量a与向量b的夹角θ是锐角,所以cosθ=>0,所以a·b=2m+6>0,得m>-3,又当a与b同向时,=,所以m=12.所以m>-3且m≠12.答案:m>-3且m≠12【误区警示】解答本题容易误认为:向量a与向量b的夹角为锐角等价于a·b>0,导致求实数m的取值范围是m>-3,实际上,当a与b同向时,也有a·b>0.三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),求a,b,a·b.【解题指南】解关于a与b的方程,求出a与b的坐标,利用公式求a·b.【解析】由a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),两式相加,得2a=(-6,8),所以a=(-3,4),两式相减,得2b=(10,-24),所以b=(5,-12),于是,a·b=(-3)×5+4×(-12)=-63.12.已知a=(1,2),b=(-3,2).(1)求a-b及|a-b|.(2)若ka+b与a-b垂直,求实数k的值.【解析】(1)a-b=(4,0),|a-b|==4.(2)ka+b=(k-3,2k+2),a-b=(4,0),因为ka+b与a-b垂直,所以(ka+b)·(a-b)=4(k-3)+(2k+2)·0=0,解得:k=3.【能力挑战题】已知向量a=(,-1),b=.(1)求证:a⊥b.(2)是否存在不等于0的实数k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y?如果存在,试确定k和t的关系;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)a·b=(,-1)·=-=0,所以a⊥b.(2)假设存在非零实数k,t使x⊥y,则[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0,整理得-ka2+[t-k(t2-3)]a·b+t(t2-3)b2=0.又a·b=0,a2=4,b2=1.所以-4k+t(t2-3)=0,即k=(t3-3t)(t≠0),故存在非零实数k,t,使x⊥y成立,其关系为k=(t3-3t)(t≠0且t≠±).
