高中数学 习题课（一）立体几何初步 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

习题课（一）立体几何初步1.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．2B．2C．3D．2解析：选B先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径． ON＝×16＝4，OM＝2，∴MN＝＝＝2.2．过平面外两点与这个平面平行的平面()A．只有一个B．至少有一个C．可能没有D．有无数个解析：选C过这两点的直线若与已知平面平行，则有且只有一个，若与已知平面相交，则不存在．故选C.3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，则下列命题错误的是()A．如果直线a⊥α，那么直线a必垂直于平面β内的无数条直线B．如果直线a∥α，那么直线a不可能与平面β平行C．如果直线a∥α，a⊥l，那么直线a⊥平面βD．平面α内一定存在无数条直线垂直于平面β内的所有直线解析：选BA选项中直线a必定与平面β内无数条平行直线垂直，故正确；B选项中如果a∥α，a∥l，aβ，则a∥β，故错误；由面面垂直的性质定理可知C选项正确；在平面α内，垂直于交线l的直线都垂直于平面β，也就垂直于平面β内的所有直线，故D选项正确．4．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β；②若l∥α，α∥β，则l∥β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.其中说法正确的个数为()A．1B．2C．3D．0解析：选A对于①，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或lβ，故①错误；对于②，若l∥α，α∥β，则lβ或l∥β，故②错误；对于③，若l⊥α，α∥β，则l⊥β，故③正确；对于④，若l∥α，α⊥β，则lβ或l∥β或l⊥β或l与β斜交，故④错误．5．四面体ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与()A．AC，BD之一垂直B．AC，BD都垂直C．AC，BD都不垂直D．AC，BD不一定垂直解析：选B AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.∴AN＝CN.在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可得MN⊥BD.6．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A．B．C．D．解析：选C如图，连接BE，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝，则tan∠EAB＝＝，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.7．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r，由题意得×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2＝7，∴r＝.答案：8．正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长等于________．解析：如图，取A1B1的中点H，连接EH，FH，则EH＝4，FH＝1.由正三棱柱的性质知△EFH为直角三角形．所以EF＝＝.答案：9.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为________．解析：几何体的表面积为S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.答案：24＋1.5π10．一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体ACDEF的体积．解：(1)证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2，∴∠CBF＝90°.取BF中点G，连接MG，NG，由M，N分别是AF，BC中点，可知NG∥CF，MG∥EF.又MG∩NG＝G，CF∩EF＝F，∴平面MNG∥平面CDEF.又 MN平面MNG，∴MN∥平面CDEF.(2)作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADEBCF为直三棱柱，∴AH⊥平面CDEF，且AH＝.∴VACDEF＝S四边形CDEF·AH＝×2×2×＝.11．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在...