单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2019福建漳州质检二,1)2+i1-i=()A.1+3i2B.3+i2C.3-i2D.-1+3i22.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,则有()A.⃗AO=2⃗ODB.⃗AO=⃗ODC.⃗AO=3⃗ODD.2⃗AO=⃗OD3.(2019浙江嘉兴一中期中)已知向量⃗OA=(3,-4),⃗OB=(6,-3),⃗OC=(2m,m+1).若⃗AB∥⃗OC,则实数m的值为()A.15B.-35C.-3D.-174.(2019安徽皖西南联盟联考)设向量a与向量b垂直,且a=(2,k),b=(6,4),则下列向量与向量a+b共线的是()A.(1,8)B.(-16,-2)C.(1,-8)D.(-16,2)5.(2019四川成都检测)已知向量a=(❑√3,1),b=(-3,❑√3),则向量b在向量a方向上的投影为()A.-❑√3B.❑√3C.-1D.16.已知菱形ABCD的边长为m,∠ABC=60°,则⃗BD·⃗CD=()A.-32m2B.-34m2C.34m2D.32m27.(2019湖南衡阳八中期中)已知向量a=(3,-4),|b|=2,若a·b=5,则a与b的夹角为()A.2π3B.π3C.π4D.π68.(2019湖南长沙一中模拟一)已知i为虚数单位,复数z满足(1+2i)z=(1+i)(2-i),则|z|=()A.❑√105B.❑√22C.❑√2D.❑√109.已知向量⃗OA=(2,2),⃗OB=(4,1),在x轴上存在一点P使⃗AP·⃗BP有最小值,则P点的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)10.(2019湖南长沙一中期中)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=()A.(79,73)B.(-73,-79)C.(73,79)D.(-79,-73)11.(2019天津高考模拟)在△ABC中,AB=2AC=6,⃗BA·⃗BC=⃗BA2,点P是△ABC所在平面内的一点,当⃗PA2+⃗PB2+⃗PC2取得最小值时,⃗AP·⃗BC=()A.35B.-9C.7D.-2512.已知向量⃗OB=(2,0),向量⃗OC=(2,2),向量⃗CA=(❑√2cosα,❑√2sinα),则向量⃗OA与向量⃗OB的夹角的取值范围是()A.0,π4B.π4,5π12C.5π12,π2D.π12,5π12二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2019四川绵阳模拟)已知向量a=(sin2α,1),b=(cosα,1),若a∥b,0<α<π2,则α=.14.(2019河南名校联盟压轴卷四,14)已知向量a=(2,-1),b=(-4,2),c=(2,3),则c在a+b上的投影是.15.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则⃗AE·⃗AF的最大值为.16.(2019江西景德镇一中期中)以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使A=90°,则⃗AB的坐标为.参考答案单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入1.A2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2+3i+i22=12+32i.故选A.2.B由2⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,得⃗OB+⃗OC=-2⃗OA=2⃗AO,即⃗OB+⃗OC=2⃗OD=2⃗AO,所以⃗OD=⃗AO,故选B.3.C因为⃗AB∥⃗OC,⃗AB=(3,1),⃗OC=(2m,m+1),所以3×(m+1)=2m,∴m=-3.故选C.4.B因为向量a与向量b垂直,所以2×6+4k=0,解得k=-3,所以a+b=(8,1),则向量(-16,-2)与向量a+b共线,故选B.5.A向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos
,∴|b|·cos=a·b|a|=❑√3·(-3)+❑√3❑√3+1=-❑√3,故选A.6.D如图,设⃗BA=a,⃗BC=b.则⃗BD·⃗CD=(⃗BA+⃗BC)·⃗BA=(a+b)·a=a2+a·b=m2+m·m·cos60°=m2+12m2=32m2.7.B由a=(3,-4)得|a|=❑√9+16=5,∴a·b=|a||b|cos=5×2cos=5,解得cos=12,∴a与b的夹角为π3,故选B.8.C由题意得,z=(1+i)(2-i)1+2i=(3+i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=1-i,|z|=❑√12+(-1)2=❑√2.故选C.9.C设P点坐标为(x,0),则⃗AP=(x-2,-2),⃗BP=(x-4,-1).⃗AP·⃗BP=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,⃗AP·⃗BP有最小值1.∴点P坐标为(3,0).10.D设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1).∵(c+a)∥b,∴2(y+2)=-3(x+1),①∵c⊥(a+b),∴3x-y=0.②联立①②两式,得x=-79,y=-73,故选D.11.B∵⃗BA·⃗BC=|⃗BA|·|⃗BC|cosB=|⃗BA|2,∴|⃗BC|·cosB=|⃗BA|,∴⃗CA⊥⃗AB,∠CAB=π2,以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(0,3).设P(x,y),则⃗PA2+⃗PB2+⃗PC2=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2=3x2-12x+3y2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10],所以当x=2,y=1时⃗PA2+⃗PB2+⃗PC2取最小值,此时⃗AP·⃗BC=(2,1)·(-6,3)=-9.故选B.12.D由题意得⃗OA=⃗OC+⃗CA=(2+❑√2cosα,2+❑√2sinα),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量⃗OA与向量⃗OB的夹角分别达到最大、最小值,故选D.13.π6向量a=(sin2α,1),b=(cosα,1),若a∥b,则sin2α-cosα=0,即2sinαcosα=cosα.又∵0<α<π2,∴cosα≠0,∴sinα=12,∴α=π6.14.-❑√55a+b=(-2,1),(a+b)·c=-1,所以,c在a+b上的投影是(a+b)·c|a+b|=-1❑√5=-❑√55.15.92以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E2,12.设F(x,y),则0≤x≤2,0≤y≤1,则⃗AE·⃗AF=2x+12y,令z=2x+12y,当z=2x+12y过点(2,1)时,⃗AE·⃗AF取最大值92.16.(-2,5)或(2,-5)设B(x,y),⃗OA=(5,2),⃗AB=(x-5,y-2),因为△OAB是等腰直角三角形,且A=90°,所以⃗OA·⃗AB=0,|⃗OA|=|⃗AB|,即{5(x-5)+2(y-2)=0,❑√(x-5)2+(y-2)2=❑√29.解方程组得{x=3,y=7,或{x=7,y=-3,所以⃗AB=(2,-5)或⃗AB=(-2,5).
