四川省木里县中学高三数学总复习函数的奇偶性新人教A版课题：函数的奇偶性教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．（一）主要知识：函数的奇偶性的定义：设，，如果对于任意，都有，则称函数为奇函数；如果对于任意，都有，则称函数为偶函数；奇偶函数的性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；是偶函数的图象关于轴对称；是奇函数的图象关于原点对称；奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.为偶函数．若奇函数的定义域包含，则．（二）主要方法：判断函数的奇偶性的方法：定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断或是否定义域上的恒等式；图象法；性质法：①设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；55判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，．（三）典例分析：问题1．判断下列各函数的奇偶性：；；；问题2．已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为(上海)设奇函数的定义域为若当时,的图象如右图,则不等式的解是问题3．已知函数满足：对任意的实数、总成立，且.求证：为偶函数.问题4．(黄岗中学月考)已知函数，求的值；已知函数（、、）为奇函数，又，，求、、的值.问题5．已知是偶函数，，当时，为增函数，56若，且，则....设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围（四）巩固练习：已知函数,是偶函数,则已知为奇函数，则的值为已知，其中为常数，若，则_______若函数是定义在上的奇函数，则函数的图象关于轴对称轴对称原点对称以上均不对函数是偶函数，且不恒等于零，则是奇函数是偶函数可能是奇函数也可能是偶函数不是奇函数也不是偶函数（五）课后作业：判断下列函数的奇偶性：；；；；（其中，）（南昌模拟）给出下列函数①②③④，其中是奇函数的是（）①②①④②④③④57已知函数在是奇函数，且当时，，则时，的解析式为_______________（上海春）已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，已知为上的奇函数，当时，，那么的值为若为偶函数，为奇函数，且，则，定义在上的函数是奇函数，则常数____,_____（北京西城模拟）已知函数对一切，都有，求证：为奇函数；若，用表示.58（重庆文）已知定义域为的函数是奇函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；设是定义在上的奇函数，且，又当≤≤时，，证明：直线是函数图象的一条对称轴；当时，求的解析式（全国）已知函数，若，则(全国Ⅰ文）已知函数，若为奇函数，则（江苏）已知，函数为奇函数，则（辽宁）设是上的任意函数，下列叙述正确的是（）是奇函数是奇函数是偶函数是偶函数（辽宁文）已知为奇函数，若，则（广东）若函数，则是（）最小正周期为的奇函数最小正周期为的奇函数最小正周期为的偶函数最小正周期为的偶函数（海南）设函数为奇函数，则59（海南文）设函数为偶函数，则(江苏)设是奇函数，则使的的取值范围是（江西）设函数是上以为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为设为实数，函数，．讨论的奇偶性；求的最小值．（上海，本题满分分）已知函数，常数.讨论函数的奇偶性，并说明理由若在上是增函数，求的取值范围.60
