高考数学大一轮复习 13.5复数教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

§13.5复数1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部．(i为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)1．(2014·课标全国Ⅰ改编)＝________.答案－1－i解析方法一＝＝＝＝＝－1－i.方法二＝2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－1－i.2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________．答案2＋4i解析 A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.3．(2013·四川改编)如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是________．答案B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示.4．(2013·广东改编)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是________．答案5解析由题意知x＋yi＝＝4－3i，所以|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.题型一复数的概念例1(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为________．(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的________条件．思维点拨(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数．(2)直接根据复数相等的条件求解．答案(1)1(2)充分不必要解析(1)由＝＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其虚部为1.(2)由解得m＝－2或m＝1，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．思维升华处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．(1)(2013·安徽改编)设i是虚数单位．若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为________．(2)(2014·浙江)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的________条件．答案(1)3(2)充分不必要解析(1)a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，且a－为纯虚数知a＝3.(2)当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；当(a＋bi)2＝2i时，得解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．题型二复数的运算例2计算：(1)＝________；(2)()6＋＝________.思维点拨复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算．答案(1)3－3i(2)－1＋i解析(1)＝＝＝－＝－3i(i＋1)＝3－3i.(2)原式＝[]6＋＝i6＋＝－1＋i.思维升华(1)复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．(2)几个常用结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．①(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.②i(a＋bi)＝－b＋ai.③i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.(1)(2014·广东改编)已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝________.(2)(2014·北京)复数2＝________.答案(1)3－4i(2)－1解析(1)方法一由(3＋4i)z＝25，得z＝＝＝3－4i.方法二设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)(a＋bi)＝25，即3a－4b＋(4a＋3b)i＝25，所以解得故z＝3－4i.(2)2...